Kovariante Ableitung

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Die nachfolgenden Aussagen sind für die Allgemeine Relativitätstheorie angepasst.

Kovariante Ableitung

Die kovariante Ableitung ist ein krummliniger Differentialoperator zur Berechnung von Bewegungsbahnen eines freien Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit.

Frei heisst in diesem Zusammenhang, dass keine äußeren Kräfte auf das Teilchen einwirken, die seine Bahn beeinflussen könnten. Die Gravitation ist in diesem Sinne keine Kraft, die auf das Teilchen wirkt, sie drückt sich in der Krümmung der Raumzeit aus, gibt also die Bahnen vor, entlang der sich ein Teilchen bewegen kann.

Link: Freie Bewegung und Zentrifugalkraft

Die kovariante Ableitung geht im flachen Raum der Speziellen Relativitätstheorie in die

partielle Ableitung über.


Dieser Artikel ist sehr formal. Daher werden die Ergebnisse und ihre Interpretation kurz beschrieben.

Es gilt  für den kovarianten Differentialoperator D (der noch zu definieren ist).

Das Symbol  bzeichnet die Komponenten eines Vierervektors, des Geschwindigkeitsvektors.

Durch  wird die Differenz der Eigenzeit beschrieben.


In der Newtonschen Physik  ist die Zeit t gleich der Eigenzeit   eines Teilchens, so dass man zwischen dt und   nicht unterscheiden muss.

In der Newtonschen Mechanik gilt die Bedingung  für die Komponenten des Geschwindigkeits-Vektors uk eines freien Teilchens, d.h. das Teilchen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.

Man erkennt, dass die kovariante Ableitung, differenziert nach der Eigenzeit , und die Newtonsche Ableitung, differenziert nach der Zeit t, angewandt auf den Geschwindigkeits-Vektor u eines freien Teilchens beide den Wert Null ergeben.

Der Unterschied besteht darin, dass die Bewegung eines freien Teilchens in der Newtonschen Mechanik den Einfluss eines Gravitationsfeldes ausschließt, während die kovariante Ableitung die Bewegung eines freien Teilchens in einer gekrümmten Raumzeit beschreiben kann, deren Krümmung Gravitation hervorruft. Sie gilt auch für den Spezialfall, dass das Gravitationsfeld verschwindet, also für den Anwendungsbereich der Speziellen Relativitätstheorie.

Der Geschwindigkeitsvektor uk der Newtonschen Mechanik hat drei Komponenten, u = (u1,u2,u3), der Geschwindigkeitsvektor  der Allgemeinen Relativitätstheorie besteht aus vier Komponenten,


Die Ableitung im Einzelnen

In die Definition der kovarianten Ableitung gehen die Christoffelsymbole ein.

Man kann sich die kovariante Ableitung plausibel machen, wenn man von der Bewegungsgleichung eines freien Teilchens im Gravitationsfeld ausgeht, wie sie in dem Artikel über Christoffelsymbole hergeleitet wurde. Als Ergebnis einer Koordinatentransformation ergab sich:

  (1)

Der Ausdruck  beschreibt den Ortsvektor der Allgemeinen Relativitätstheorie, .
 

Man kann diese Gleichung auch folgendermaßen schreiben:  (2)
wenn man berücksichtigt, dass die Ableitung des Ortsvektors nach der Eigenzeit den Geschwindigkeitsvektor ergibt:

Multipliziert man diese Gleichung formal mit  so erhält man:

(3)

Für das weitere Vorgehen benötigt man Aussagen aus der Differentialgeometrie, wie ein totales Differential berechnet wird.

Über gleichbenannte Indizes auf der rechten Seite der Formel wird summiert, also über  (über die Werte 0,1,2,3).

Berücksichtigt man dies, so liefert das Umstellen von Formel (3): 
Der Ausdruck  beschreibt das kovariante Differential D für die Bewegung eines freien Teilchens im Gravitationsfeld.

Aus dem vorhergehenden folgt, dass  als Bedingung für die Bewegungsbahn eines freien Teilchens im Gravitationsfeld erfüllt sein muss.

Der Ausdruck  heißt kovariante Ableitung von  nach .

Im flachen Raum der speziellen Relativitätstheorie verschwinden die Christoffelsymbole (s.o.) und man sieht, dass die kovariante Ableitung dort in die partielle Ableitung (s.o.) übergeht.

Die vorangehende Ableitung wurde im Rahmen der klassischen Differentialgeometrie vorgenommen, sie dient dazu, die kovariante Ableitung plausibel zu machen. Es gibt einen streng mathematischen Zugang in der Theorie der differenzier­baren Mannigfaltig­keiten, allerdings muss man sich vorher mit der dort verwendeten Terminologie vertraut machen.