Eigenzeit

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Messen von Zeitdifferenzen

Ein Autofahrer, der sich mit seinem Auto entlang einer Straße bewegt, mißt über eine im Auto eingebaute Uhr seine Eigenzeit. Diese Uhr befindet sich relativ zu dem Fahrer in Ruhe. Die im Auto gemessene Zeit wird im folgenden mit  bezeichnet, Zeitdifferenzen mit d.

Im allgemeinen versteht man unter Zeitmessungen die Messung von Zeitdifferenzen (Zeitunterschieden).

Zeitdifferenzen werden für Ereignisse gemessen, z.B. die Zeitdifferenz zwischen An- und Ausschalten eines Blinkers. Die Zeitdifferenz für ein solches Ereignis kann von verschiedenen Personen gemessen werden, sowohl vom Fahrer des Autos als auch von Passanten am Straßenrand.

Für am Straßenrand stehende Passanten bewegt sich das Auto, sie messen mit ihren Uhren eine Zeit t und die Zeitdifferenz dt zwischen An- und Ausschalten des Blinkers.

Nach einer Formel der speziellen Relativitätstheorie unterscheiden sich diese Zeiten, es ist

v ist die Geschwindigkeit des Autos gegenüber den stehenden Passanten am Straßenrand.

c ist das Symbol für die Lichtgeschwindigkeit.

Allerdings ist der Quotient     so klein, dass man ihn physikalisch überhaupt nicht messen kann. Damit ist auch der Zeitunterschied zwischen  d und dt vernachlässigbar.

Erst bei großen Geschwindigkeiten, die sich in Bruchteilen der Lichtgeschwindigkeit messen lassen, wird dieser Zeitunterschied meßbar.

Entsprechend der Gleichung   ist die Eigenzeit immer die kleinste Zeit, die für ein Ereignis gemessen wird.

Betrachtet man die innere Uhr eines Mesons, so bestimmt d  seine Lebenszeit, die innere Uhr mißt die Eigenzeit des Mesons. Die  innere Uhr eines Mesons ist eine (gedachte Uhr), die relativ zu dem Meson ruht.

(Allerdings ist mir nicht klar, was die internen Lebensprozesse eines Mesons ausmacht)

Das Meson bewege sich mit großer Geschwindigkeit in Richtung Erdoberfläche.

Mißt man seine Lebenszeit in Sekunden (oder Bruchteilen davon), so erscheint dieses Ereignis gedehnt, die Zeit dt, die ein auf der Erdoberfläche stehender Beobachter mißt, ist größer als  d.

Hieraus resultiert die Aussage, schnell bewegte Mesonen leben länger als ruhende Mesonen. Für das Meson ist seine erlebte Eigenzeit unabhängig von seinem Bewegungszustand.

Auf Grund des größeren Wertes für dt kann es allerdings eine größere Strecke zurücklegen, als seine Lebenserwartung vermuten lassen würde.


Längenkontraktion

Beschleunigt man ein Raumschiff auf eine hohe Geschwindigkeit, so verändern sich für den mitbewegten Reisenden Entfernungsmessungen gegenüber einem auf der Erdoberfläche zurückgebliebenem Beobachter, seine Entfernungsmessungen erscheinen verkürzt (Längenkontraktion).

Die Längenkontraktion wird durch die Beschleunigungsphase bewirkt, dadurch braucht der Reisende weniger Eigenzeit um Entfernungen zurückzulegen, als ein Erdbeobachter vermuten würde.

Für den zurückgebliebenen Erdbeobachter wirkt dieses Phänomen wie eine Dehnung der Eigenzeit des Reisenden, der Zeitablauf im Raumschiff erscheint für den Erdbeobachter verlangsamt (Zeitdilatation).

Dieses Phänomen ist konsistent mit Beobachtungen in einem Gravitationsfeld: eine Beschleunigung wirkt im Rahmen der Relativitätstheorie wie ein Gravitationsfeld, das den Eigenzeitablauf verlangsamt.


Zwillingsparadoxon

Nach Abschluß der Beschleunigungsphase verschwindet die Zeitdilatation aber nicht, für den zurückgebliebenen Erdbeobachter behält der Passagier des Raumschiffes seine verkleinerte Eigenzeit.

Für den Passagier des Raumschiffes haben sich Entfernungen, die er zu Beginn seiner Reise gemessen hatte, verkürzt, und zwar um den gleichen Faktor, mit dem seine Uhr für einen zurückgebliebenen Erdbeobachter langsamer geht.

Insbesondere ist für den Passagier die Entfernung zwischen Erde und Zielstern kürzer als vor der Beschleunigungsphase, unabhängig davon, wo er sich gerade befindet.

Die Zeitdilatation kann das  Zwillingsparadoxon bewirken, ein Zwilling kehrt nach Abschluss eines Raumfluges jünger zurück als sein Zwillingsbruder, der auf der Erde zurückgeblieben ist.

Was er erlebt hat, ist aber nur seine Eigenzeit, und die ist kürzer als die erlebte Eigenzeit seines zurückgebliebenen Zwillings. Durch den Raumflug wird also keine Zeit gewonnen, der zurückgeblieben Zwilling hatte viel mehr Zeit sein Leben zu leben.


Eigenzeit im Gravitationsfeld

Die Eigenzeit ist stets mit einer Uhr verknüpft, die relativ zu einem Beobachter ruht. Für ihn ändert sich nichts an den Eigenschaften der Uhr, er wird z.B. keine Veränderung bei der Messung seines Pulsschlages feststellen.

Was sich ändert ist die Raumzeitumgebung und ihre Metrik, die eine unterschiedliche Zeitmessung für einen weit entfernten Beobachter bewirkt, verglichen mit einem Beobachter auf der Erdoberfläche,

Dabei beziehen sich beide Beobachter auf  Ereignisse auf der Erdoberfläche.

Je näher sich ein Beobachter am Gravitationszentrum befindet, desto kleiner ist seine Eigenzeit relativ zu der Zeitmessung eines entfernten Beobachters. Man kann diesen Unterschied über die Metrik der Raumzeit begründen.

"Kleinere Eigenzeit" bezieht sich auf die Zeitdifferenz für ein "Ereignis", z.B. Bewegen auf der Erdoberfläche von einem Ort A nach einem Ort B:
d.h., bewegt sich ein Beobachter auf der Erdoberfläche von einem Ort A nach einem Ort B, so verbraucht er weniger Zeit, als ein entfernter Beobachter vermuten würde ("seine Zeitablauf ist verlangsamt").

Anders formuliert: für eine Zeitmessung, die weiter entfernt stattfindet, erscheint die Zeitmessung des sich näher am Zentrum befindlichen Beobachters gedehnt.


Bei Zeitmessungen mit Zwillings-Atomuhren, von denen der eine Zwilling von Hamburg nach München befördert wurde, zeigte sich eine unterschiedliche Gangart der Uhren.

Allerdings weiss ich momentan nicht mehr, welche der Uhren nach dem Experiment langsamer ging.

Aus dem vorhergehenden schließe ich, dass die Zwillingsuhr in Hamburg eine langsamere Gangart hatte als die in München (denn Hamburg ist näher am Gravitationszentrum der Erde).


Nähert sich ein Raumschiff dem Ereignishorizont eines schwarzen Loches, so wird es ihn für einen entfernten Beoachter nie erreichen, die Zeit bis zum Erreichen des Ereignishorizontes erscheint ins Unendliche gedehnt.
Man kann dies aus der Gestalt der Schwarzschildmetrik ersehen.

Die Insassen des Raumschiffes messen allerdings eine endliche Eigenzeit, bis sie hineingefallen sind.

Hieraus schließe ich, dass die Uhr im Raumschiff relativ zur Uhr des entfernten Beoabachters langsamer geht, da die Insassen weniger Zeit brauchen, um den Ereignishorizont zu erreichen (vgl. hierzu auch das Buch von Fliessbach über Allgemeine Relativitätstheorie).


Fragen und Spekulationen

Unendlichkeiten in physikalischen Formeln sehen meiner Meinung nach immer etwas merkwürdig aus. 

Während ich mich in einem Raumschiff auf einen Ereignishorizont zu und dann hindurch bewege, vergeht außerhalb des 
Ereignishorizontes unendlich viel Zeit. 

Dass passt natürlich zu der Aussage, dass es kein Zurück mehr gibt. 

Aber in unendlich viel Zeit kann viel passieren, z.B. könnte das Schwarze Loch für einen außenstehenden Beobachter 
aufhören zu existieren, bevor ich hineingefallen bin. 

Dass ein schwarzes Loch nicht ewig existieren muss, wurde z.B. von Hawkins berechnet. 

Auch ein Universum, in das ein Schwarzes Loch eingebettet ist, muss nicht ewig existieren. 

Was aber passiert, wenn sich das schwarze Loch ausdehnt, z.B. durch Massenaufnahme, und ich mich in "unmittelbarer 
Nähe" des Ereignishorizontes befinde? Das Schwarze Loch könnte sich für den außenstehenden Beobachter in endlicher Zeit vergrößern, über meinen Standort hinaus, so dass ich mich für ihn nach endlicher Zeit dort drin befinden müßte.

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