Formelsammlung Elektrodynamik 01 - Elektrostatik

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Die Formelsammlung bietet nur eine kleine Auswahl aus der Menge der Formeln, die für das Fachgebiet relevant sind. Die Seite ist so aufgebaut, dass sie im Laufe der Zeit erweitert werden kann.

Ausgehend von einer Formel werden ihre Beschreibungsrößen erläutert. Die verwendeten Schlüsselbegriffe der Beschreibungsgrößen sind alphabetisch angeordnet. Detailiertere Beschreibungen findet man z.B. im Physiklexikon (Link über Home -> Wissenschaft -> Physik) oder in den Seiten Artikel Physik (über Home -> Wissenschaft). Zum Teil sind die Begriffe verlinkt. Weitere Erläuterungen findet man im Index zur Elektrodynamik.

Insbesondere werden im Index zur Elektrodynamik verschiedene in der Physik gebräuchliche Maßsysteme erläutert:
cgs System = Gaußsches Maßsystem, mks System = SI -Einheitensystem.

Sie sind im Index zur Elektrodynamik über die Basiseinheiten verlinkt. Dieser Index referenziert auch Formeln der Elektrostatik.

cgs: Gramm, Zentimeter, Sekunde, mks: Meter, Kilogramm, Sekunde.

Drei Punkte vor einem Symbol (...) haben keine besondere Bedeutung (ein Darstellungskompromiss).
Wenn nicht anders angegeben, wird das SI-Einheitensystem verwendet.

Die Formeln dienten zum Teil der Vorbereitung für Physikprüfungen. Es ist ein Versuch, ausgehend von Formeln, Verständnis für die physikalischen Zusammenhänge zu entwickeln, bzw. diese Zusammenhänge in geeigneter Weise miteinander zu verlinken.

Anmerkung:

Die Formeln wurden zum Teil als jpg oder als gif Dateien eingefügt. Ein Teil der Formeln wurde im Latex-Format eingegeben (zwischen zwei  Dollar-Symbolen). Diese Formeln werden durch das MathJax-Skript im Header der Datei in das symbolische Format übersetzt.


Formel

Coulomb Gesetz im SI-System

Coulomb-Gesetz

Beschrieben wird die elektrostatische Kraft K21
zwischen den Punktladungen Q1 und Q2.

Man beachte die Konventionen für die Darstellung vektorieller Größen (Link s.o.).
Es werden die Basiseinheiten "Kilogramm, Meter, Sekunde" verwendet.
Hinzu kommen die Basiseinheiten "Ampere, Volt"
in der Beschreibung von epsilon0.

...epsilon0 wird weiter unten beschrieben (-> Feldkonstanten)

Qi ist am Ort mit den Koordinaten ri lokalisiert 
(i = 1,2), |r2 - r1| beschreibt
den Relativabstand der Punktladungen

Coulomb Gesetz im CGS-System

Coulomb-Gesetz im Gauss-System

Das Coulombsche Gesetz im cgs System (Gaußsches Maßsystem)

Es werden die Basiseinheiten "Gramm, Zentimeter, Sekunde" benutzt.
Die direkte Umrechnung von Einheiten des cgs Systems in das mks System
kann zu Widersprüchen führen

(vgl den folgenden Link hierzu)

Potentialgleichung für eine Ladungsverteilung

Potentialgleichung

Delta-Operator

Delta= div grad, wird auch als
Laplace-Operator bezeichnet

rho
... $\Phi$ ist das Potential
...epsilon0 ist die elektrische Feldkonstante

Anwendung des Delta-Operators

anwendung delta operator

grad (1/r) = - r / r3
.... delta = div grad= div grad

vgl. Anwendung der Divergenz,
$\delta$ ist die Dirac´sche Deltafunktion

Dielektrische Verschiebung

Dielektrische Verschiebung

... epsilon0: elektrische Feldkonstante

E: elektrischer Feldstärkeverktor
div D = rho

...rho: Ladungsdichte

Differentialoperatoren

Gradient (Nabla-Operator), Delta-Operator (Laplace-OPerator), Divergenz, Rotation

Dirac'sche Deltafunktion

Diracs Deltafunktion

Einführung der Deltafunktion.
Integriert wird über den gesamten Raum.
Beschrieben wurde die 3 dimensionale Deltafunktion,
hierfür findet man auch die Schreibweise delta klein3

Unter der Deltafunktion oder Delta-Funktion
wird i.A. die Dirac'sche Deltafunktion verstanden

Übungsaufgabe 03

Divergenz

des elektrostatischen Feldes
Divergenz

E(r) ist ein Vektorfeld und rho(r) eine skalare Funktion

epsilon0 ist die elektrische Feldkonstante,
div: Divergenz,
rho: Ladungsdichte
Interpretation der Formel: Die Ladungen sind Quellen des Feldes

Anwendung der Divergenz

Anwendung der Divergenz
delta kleinist die Dirac'sche Deltafunktion,
r
der Ortsvektor,
r der Betrag des Ortsvektors

vgl. Aufgabe 3 und die Anwendung für den Gradienten

Elektrischer Feldstärketensor

elektrischer Feldstärketensor

Elektrischer Feldstärketensor
in cgs Einheiten (Gaußsches Einheitensystem)

Man kann aus dieser kompakten Darstellung
Maxwellgleichungen herleiten

vgl. Physik ->
Physiklexikon ->
Feldstärketensor der Elektrodynamik

Elektrische Feldstärke

Elektrische Feldstärke

Die elektrische Feldstärke
ist der Betrag des elektrischen Feldstärkevektors.

E wird manchmal auch als elektrisches Feld oder elektrostatisches Feld bezeichnet

Elektrischer Fluß

Elektrischer Fluß

Der elektrische Fluß des Feldes E durch eine orientierte
Fläche F

vgl. 
Übungsaufgabe 3

Elektrostatische Kraft

Elektrostatische Kraft


die eine Punktladung Q im Feld E erfährt
andere Schreibweise:
Kel(r) = QE(r) , K , E
und r sind vektorielle Größen

E: elektrischer
Feldstärkevektor,
Q: Punktladung, 
Kel elektrostatische Kraft,
r ortsvektor : Ortsvektor

Verallgemeinerung der Formel für die elektrostatische Kraft

Formel für die elektrostatische Kraft

Kraft auf eine Ladungsverteilung
... rho im elektrostatischen 
Feld E

Beispiel für eine
Ladungsverteilung
Übungsaufgabe 04

Elektrostatische Kraft auf eine Punktladung

Elektrostatische Kraft auf eine Punktladung

Elektrostatische Kraft von N Punktladungen auf eine Punktladung

Die Ladung Q befinde sich am Ort r ,
KQ ist die elektrostatische Kraft,
die von N Ladungen Qi an den Orten ri
auf Q ausgeübt wird

Die Addition der Teilkräfte folgt dem
Superpositionsprinzip

beschrieben wird eine lineare Addition von Kräften

Elektrostatische Kraft einer Ladungsverteilung auf eine Punktladung

Elektrostatische Kraft

Die Ladung q befinde sich
am Ort r

Kq beschreibt die elektrostatische Kraft,
die von einer kontinuierlichen
Ladungsverteilung rho...

... auf die Ladung
q ausgeübt wird

Feldkonstanten

(1) epsilon0 = 8,854 · 10-12 (As)/(Vm)
(2) $\mu_0= 4 \pi$ · 10-7 (Vs)/(Am)

Feldkonstanten

(1) elektrische 
Feldkonstante
(2) magnetische Feldkonstante

A: Ampere, s: Sekunde, V: Volt

Gradient

Gradient

Das elektrische Feld ist der Gradient eines Potentials

... $\Phi$: Potential
grad: Gradient


eine andere Schreibweise des Gradienten


und noch eine andere Schreibweise

Anwendung des Gradienten



r ist der Betrag des 
Ortsvektors r

vgl. Aufgabe 3, r muss ungleich 0 sein

Greensfunktion



rho(r) beschreibt eine Ladungsverteilung

vgl. Aufgabe 8, Teil E

Differentialgleichung für die Greensfunktion

Greensfunktion

.... delta kleinist die 3 dimensionale Dirac'sche Deltafunktion

Integralsätze

Satz von Stokes

Satz von Stokes

C: eine geschlossene Kurve mit stetig differenzierbarer Parameterdarstellung, 
F: der Flächeninhalt 
von C

Gaußscher Integralsatz

Gaußscher Integralsatz

Satz von Gauss

F: eine geschlossen Fläche mit stetig differenzierbarer Parameterdarstellung, 
V: das von der Fläche eingeschlossene Volumen


Ladung

Berechnung der
Gesamtladung Q über eine 
Ladungsverteilungrho(r)

Integriert wird über den gesamten Raum
...rho(r) gibt die Ladungsdichte am Ort r an
(beschreibt die Ladungsverteilung)

die Ladungsverteilung wird
durch die Ladungsdichte - Funktion beschrieben

Ladungsdichte

Definition der Ladungsdichte: Ladung pro Raumvolumen

Ladungsverteilung
die Ladungsdichtefunktion ordnet jedem Ortsvektor des Raumes eine Ladungsdichte zu

Laplace-Operator

Laplace-Operator

Laplace-Operator

Def: $\Delta = \text{div grad}$
...rho(r) gibt die Ladungsdichte an, ... epsilon0 ist die elektrische
Feldkonstante

Potentialgleichung für eine Ladungsverteilung

Maxwellgleichungen

(1)

$\text{div } \vec{E}=\displaystyle \frac{\rho}{\epsilon_0}$

$D=\epsilon_0 \vec{E}$; $\text{div } \vec{D}=\rho$

(2)

$\text{div } \vec{B}=0$; $\vec{B}=\text{rot } \vec{A}$

(3)

$\text{rot } \vec{E}=\displaystyle -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

$\vec{B}=\mu_0 H$; $\text{rot } \vec{H} = \displaystyle \vec{j}+ \displaystyle \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

Maxwellgleichungen

$[\rho] = \displaystyle \frac{C}{m^3}$; C: Coulomb; m: Meter; [C]=As; A: Ampere

$\vec{j}=\rho \vec{v}$

$[j]=\displaystyle \frac{A}{m^2}$; $[H]=\displaystyle \frac{A}{m}$; $[E]=\displaystyle \frac{V}{m}$; $[B]=\displaystyle \frac{Vs}{m^2}$
Bedeutung:

(1) Die Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes

$\rho$ bezeichnet die elektrische Ladungsdichte, $\vec{E}$ bezeichnet die elektrische Feldstärke

(2) Das Magnetfeld hat keine Quellen

$\vec{B}$ bezeichnet die magnetische Induktion

(3) Die zeitliche Änderung des magnetischen Feldes ergibt ein elektrisches Feld

$\vec{H}$ bezeichnet die magnetische Feldstärke

$\vec{j}$ ist die Stromdichte
nabla operator

Nabla - Operator

wird auch als Gradient bezeichnet
Potential

Potential

=> (Übungsaufgabe 01)

...rho beschreibt die Ladungsverteilung

mit


Punktladung

am Ort mit den 
Koordinaten r
....rho beschreibt eine punktförmige Ladungsverteilung

.... delta klein ist die Dirac'sche Delta-Funktion

Rotation

... des elektrostatischen Feldes

rot E = 0

Rotation

rot: Rotation
Interpretation der Formel:
Das elektrostatische Feld ist wirbelfrei


Definition der Rotation des Vektors r

... nabla operator: Nabla-Operator

Beschreibung der Differentialoperatoren

Rotation

Rotation

Eine größere Darstellung des Bildes

Rotation des elektrischen Feldes E.

Nabla-Operator

Nabla-Operator

Nabla - Operator
(Gradient)

Delta-Operator

Delta-Operator

Delta-Operator oder
Laplace Operator

Divergenz

Divergenz

Eine größere Darstellung des Bildes

Divergenz des elektrischen Feldes E.

Relativistische Elektrodynamik

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