Das Newtonsche Gravitationsfeld

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Gravitationsfeldstärketräge und schwere Masse

Beschreibung des Gravitationsfeldes

Das Gravitationsfeld ist in der Newtonschen Physik ein Vektorfeld, das jedem Punkt in der Umgebung einer Schweren Masse einen Feldstärkevektor zuordnet. Der Betrag des Feldstärkevektors heißt Gravitationsfeldstärke. Die Gravitationsfeldstärke bewirkt eine anziehende Wirkung des Feldes auf beliebige Massen in der Umgebung der felderzeugenden Masse. Der Feldstärkevektor und die Gravitationsfeldstärke werden aus dem Gravitationsgesetz von Newton abgeleitet.

Das Gravitationsgesetz wurde von Newton für die Kraft zwischen Himmelskörpern angegeben, die auf Grund ihrer großen Entfernung von der Erde punktförmig oder Kugel symmetrisch erscheinen. Es wird in der Literatur oft allgemein für die Kraft zwischen Massenschwerpunkten verwendet, ohne dass hierbei die geometrische Form der Körper berücksichtigt wird.

Um den Begriff "Gravitationsfeldstärke" herleiten zu können, wird das Gravitationsgesetz in der Form verwendet, wie es für Punktmassen gültig ist. Dabei wird zwischen der felderzeugenden Masse M und einer Probemasse m unterschieden, mit der dieses Feld ausgemessen werden kann.

Ein Gravitationsfeld wird durch eine schwere Masse M erzeugt. Das Ausmessen eines Gravitationsfeldes kann mittels einer so genannten Probemasse m erfolgen. Eine Probemasse ist eine Masse, die so klein ist, dass ihr eigenes Gravitationsfeld das auszumessende Feld nicht merklich stört. Man kann z.B. die Masse eines Menschen als Probemasse im Gravitationsfeld der Erde betrachten, oder die Planeten als Probekörper im Gravitationsfeld der Sonne.

Das Newtonsche Gravitationsgesetz für Punktmassen oder kugelsymmetrische Massenverteilungen
lautet in seiner vektoriellen Form: F = -G * (M * m)/r2 * r/r

r ist der Verbindungsvektor zwischen den Massenschwerpunkten und zeigt vom Massenschwerpunkt der Masse M auf
den Massenschwerpunkt der Masse m. F ist dem Vektor r genau entgegen gerichtet und gibt die Kraft an, die M auf m ausübt (vergl. auch die Überlegungen zu den Keplerschen Gesetzen).

Aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz folgt für den Betrag der Kraft zwischen den beiden Massen:

F heißt Betrag der Gravitationskraft.

G ist die Newtonsche Gravitationskonstante.

M ist die felderzeugende Masse

m ist die Probemasse zum Ausmessen des Feldes

r ist der Abstand zwischen den beiden Massenschwerpunkten


Man kann diese Formel etwas anders schreiben:

Eine größere Darstellung des Bildes

g wird als Betrag der Gravitationsfeldstärke bezeichnet. Man nennt diese Größe auch den Betrag der Gravitationsbeschleunigung.


Der Vektor der Gravitationsfeldstärke hat die Form g = -(G * M) / r2 * (r / r) und zeigt in Richtung des Massenschwerpunktes von M. 
Für die Kraft auf die Probemasse m gilt dann  F = g * m. 

Wirkt auf eine Masse m eine Kraft F so erfährt sie eine Beschleunigung a. Die in der Gleichung F = m · a vorkommende Masse m wird als träge Masse bezeichnet. Die Kraft F in der Gleichung F = m · a heißt Newtonsche Kraft oder beschleunigende Kraft. m heißt beschleunigte Masse. Die Gleichung F = m · a heißt Newtonsche Grundgleichung.

Aus der oben angegebenen Formel für das Gravitationsgesetz schließt man F = m * g. Die in dieser Gleichung verwendete Masse heißt schwere Masse ms. Im folgenden wird für diese Gleichung folgende Form verwendet: G = ms * g.

G steht für Gravitationskraft. g ist eine vektorielle Größe, der Vektor der Gravitationsbeschleunigung.

Die Gravitationskraft verleiht der Masse m eine Beschleunigung a.
Es gilt daher die Newtonsche Grundgleichung F = m * a.
Die in dieser Gleichung verwendete Masse m heißt träge Masse mt

Die Gleichung wird im folgenden in der Form F = mt * a geschrieben.

Im folgenden werden  nur noch die Beträge der Gleichungen betrachtet, also z.B. der freie Fall in einem als homogen angenommenen Erdgravitationsfeld (was auf der Erdoberfläche relativ zur Größe eines Menschen angenähert richtig ist).

G = ms * g

F = mt * a

Es ist F = G , weil die Gravitationskraft die beschleunigende Kraft ist.
Hieraus folgt ms * g = mt * a  und hieraus  a = ms/ma * g.

Wenn also ms ungleich ma ist, so unterscheiden sich g und a.

Die Beschleunigungen g und a und die Massen ms und ma können physikalisch gemessen werden.

Das Experiment zeigt mit großer Genauigkeit, dass ms= ma sein muss.

Diese Gleichheit von träger und schwerer Masse war bereits Newton bekannt. Er hielt sie allerdings für eine zufällige Übereinstimmung. Anders in der Einsteinschen Theorie, ohne die Gleichheit von träger und schwerer Masse ist die Allgemeine Relativitätstheorie falsch.

Bemerkung: In der Literatur findet man oft die Aussage "Schwere und träge Masse sind äquivalent". Verwendet man die Formeln zur Berechnung der Kräfte (Gravitationskraft und Newtonsche Kraft) in der angegebenen Form (und berechnet beide Kräfte in SI-Einheiten), so folgt die Gleichheit von schwerer und träger Masse.


Will man die Gravitationsfeldstärke an der Erdoberfläche berechnen, so muss man die lokalen Besonderheiten der Erdzusammensetzung, die Geometrie der Erde, ihre Eigenbewegungen und die Bewegungen des Erde-Mond-Systems berücksichtigen.

Die Verteilung der Massen M innerhalb der Erde ist inhomogen, dies bedingt bereits eine unterschiedliche Feldstärke an verschiedenen Punkten der Erdoberfläche. Hinzu kommt der Effekt der Bewegung des Erde-Mond-Systems um einen gemeinsamen Schwerpunkt. Hierdurch wird eine Zentrifugalbeschleunigung hervorgerufen, die der Erdbeschleunigung entgegenwirkt.

Die Erde ist keine Kugel, sondern angenähert ein Rotationsellipsoid, sie ist an den Polen abgeplattet und am Äquator verdickt. Dies ruft insbesondere eine unterschiedliche Schwerebeschleunigung am Äquator und an den Polen hervor. Die Rotation der Erde bewirkt eine Verringerung der Erdbeschleunigung an der Oberfläche.

Hinzu kommen weitere Eigenbewegungen der Erde, die "kleinere" Abweichungen vom theoretischen Wert der Erdbeschleunigung bewirken.

Da die Erde keine homogene Kugel ist, ist es schwierig, den genauen Abstand r vom Gravitationszentrum zu bestimmen.


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