Das Einsteinsche Gravitationsfeld

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Stichworte

Einsteinsche Theorie, Teilchen, Massive Teilchen, Energieteilchen, punktförmige Teilchen, Teilchen einer kosmischen Flüssigkeit, Metrik, Geodäten, Nullgeodäte, Ereignisse, geodätische Abweichung

Das Gravitationsfeld in der Einsteinschen Theorie

Ausgangspunkt für die Gravitationstheorie nach Einstein ist die Gleichheit von schwerer und träger Masse. Diese Voraussetzung ermöglicht es, ein Gravitationsfeld lokal wegzutransformieren, d.h. die gekrümmte Raumzeit lokal durch den flachen Raum der Speziellen Relativitätstheorie zu ersetzen.

Physikalisch verschwindet ein Gravitationsfeld durch den freien Fall, wenn das fallende Objekt klein genug ist. Das ist z.B. bei einem frei fallenden Fahrstuhl der Fall, oder beim freien Fall eines Satelliten, der sich um die Erde bewegt. Klein genug heißt, dass Abweichungen gegen die Homogenität des Feldes vernachlässigt werden können.

Durch Koordinatentransformationen vom flachen Raum der speziellen Relativitätstheorie in die gekrümmte Raumzeit lassen sich Bewegungsgleichungen für Teilchen unter dem Einfluss eines Gravitationsfeldes aufstellen.


Der Begriff Teilchen wird verwendet, wenn es sich dabei im um ein "energetisches Gebilde" handelt, dessen eigenes Gravitationsfeld und eventuell vorhandene räumliche Ausdehnung vernachlässigt werden kann.
Massive Teilchen wie Elektronen, Protonen oder Atome erfüllen in der Regel diese Bedingungen. 
Daneben gibt es Energieteilchen wie Photonen, die keine Ruhemasse besitzen und über deren räumliche Ausdehnung keine Aussage getroffen werden kann.
In der Astrophysik sind die Planeten angenähert punktförmige Teilchen im Gravitationsfeld der Sonne.

In der Kosmologie werden Galaxien als Teilchen einer kosmischen Flüssigkeit betrachtet.

Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen ergeben unter vereinfachten Randbedingungen (z.B. Homogenität, Isotropie, verschwindender Energie-Impuls-Tensor) Metrische Tensoren für bestimmte Gravitationsfelder (z.B. das kugelsymmetrische Gravitationsfeld außerhalb einer Massenverteilung).

Bewegung in einem Gravitationsfeld

Geodäten

Teilchen, die in einem Gravitationsfeld sich selbst überlassen werden, bewegen sich entlang bestimmter Bahnen, die man als Geodäten bezeichnet. Man kann diese Bewegungen als eine Verallgemeinerung der kräftefreien Bewegung der Newtonschen Physik betrachten.
 
Beispiele für Geodäten sind die Großkreise auf einer Kugeloberfläche. Entlang der Geodäten erhält man die kürzesten (oder längsten) Verbindungen zwischen 2 Punkten. 

Die Kräftefreiheit äußert sich darin, dass für einen fiktiven Beobachter mit vernachlässigbar kleinen Dimensionen, der auf einem massiven Teilchen sitzt, das Gravitationsfeld verschwunden ist.
Die Geodäten repräsentieren die kürzesten Verbindungen zwischen 2 Punkten (das sind Ereignisse) der vierdimensionalen gekrümmten Raumzeit.

Massive Teilchen sind z.B. Elektronen, Protonen, masselose Teilchen sind die Photonen.

In Analogie betrachte man einen frei fallenden Fahrstuhl. Für einen Passagier im Innern des Fahrstuhls ist das Gravitationsfeld verschwunden, er kann sich in seinem Fahrstuhl kräftefrei bewegen.

Man beschränkt sich in der Theorie auf die Beschreibung der Bewegung von Teilchen, da größere Materiestücke in einem Gravitationsfeld zerrissen werden können (auf Grund der Inhomogenität des Gravitationsfeldes wirken Gezeitenkräfte). Man erklärt sich auf diese Weise z.B. das Zustandekommen der Saturnringe.

Wäre das Materiestück eine große Staubwolke, so würden sich die einzelnen Bestandteile entlang unterschiedlicher Geodäten bewegen. Wenn sich die Geodäten aufeinander zubewegen oder voneinander entfernen spricht man von geodätischer Abweichung. Sie wirkt wie eine Kraft, die eine ausgedehnte Masse zusammendrücken oder zerreißen will. Damit ein zusammenhängendes Materiestück nicht zerrissen wird, ist eine Kraft erforderlich, die es zusammenhält. Diese Kraft ist i.A. die elektrostatische Kraft.

Nullgeodäten

Nullgeodäten beschreiben die Bahnen von Photonen. Photonen sind masselose Teilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. 
Sie werden auch als Lichtteilchen bezeichnet.

Die Bezeichnung masselos ist verwirrend, da die Photonen real eine Masse besitzen. Diese ergibt sich als Äquivalent zur Photonenenergie nach der Einsteinschen Gleichung $E = mc^2$. Masselos hat in diesem Zusammenhang die Bedeutung, dass die Photonen keine Ruhemasse besitzen. Ein ruhendes Photon ist auch noch niemals beobachtet worden, sie bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit und das unabhängig vom Bewegungszustand des Beobachters.

Für Teilchen mit einer Ruhemasse stellt die Lichtgeschwindigkeit eine Grenzgeschwindigkeit dar, die sie nicht erreichen können.

Mit zunehmendes Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit wächst die Masse eines Teilchens mit der Ruhemasse $m_0$ nach der Formel
$m=\displaystyle \frac{{m_0}}{\left({1 - \displaystyle \frac{v^2}{c^2}}\right)}$, d.h., würde es die Lichtgeschwindigkeit erreichen, dann wäre seine Masse unendlich groß.

Metrik

Die unterschiedlichen Bewegungsbahnen für Teilchen mit und ohne Ruhemasse können über die Metrik der Raum-Zeit berechnet werden.

Die dabei verwendete Größe $ds^2$ bestimmt in der Speziellen Relativitätstheorie bis auf einen konstanten Faktor die Eigenzeit eines Teilchens.
Für ein Lichtteilchen ist $ds^2=0$, d.h. es hat keine Eigenzeit.

Zur Erläuterung der nachfolgenden Überlegungen verweise ich auf die folgende Seite.
Dort wird der Ausdruck $ds^2$ behandelt und seine Proportionalität zur Eigenzeit eines Teilchens hergeleitet.

$ds^2=0$
In der Allgemeinen Relativitätstheorie definiert die Gleichung $ds^2=0$ die Bahnen der Photonen. 

$ds^2>0$
Für die Bewegung von Teilchen mit einer Ruhemasse und einer Geschwindigkeit, die kleiner als die Lichtgechwindigkeit ist,  erhält man $ds^2>0$.
Es ist eine Bewegung in die Zukunft.

$ds^2<0$.
Man findet Begriffe wie "Raumartige Bewegungen", "Bewegungen mit Überlichtgeschwindigkeit",
Verletzungen des Kausalitätsprinzips, z.B. "eine Wirkung liegt zeitlich vor ihrer Ursache". Oder anders formuliert, die Ursache wird durch ihre Wirkung bestimmt.

Frage: Können durch $ds^2<0$ Bewegungen in die Vergangenheit beschrieben werden? 

In der Speziellen Relativitätstheorie gilt für den eindimensionalen Fall $ds^2=dx^2-c^2dt^2$. Genauer müßte man schreiben: $dt^2=dt dt=(dt)^2$.
Eine Bewegung in die Vergangenheit könnte man durch eine Zeitumkehr erreichen, indem man $t$ durch $-t$ ersetzt, für $(d(-t))^2$
folgt dann $((-dt))^2=(dt)^2=dt^2$. Entsprechend bleibt $dx^2$ positiv. D.h., der Raum-Zeit-Abstand $ds^2$ bleibt größer als 0. Anschaulich betrachtet bewegt man sich im Lichtkegel der Speziellen Relativitätstheorie rückwärts.

Eine alternative Begründung:
Eine Umkehrung der Bewegung in der Zeit hat die Konsequenz, dass Zeitdifferenzen $dt$ und Ortsdifferenzen $dx$ ihr Vorzeichen ändern. Da in die Berechnung von $ds^2$ aber die Quadrate $dt^2$ und $dx^2$ eingehen, bleibt $ds^2$ positiv.

Bedeutung von $ds^2=0$:
Aus der Formel $ds^2=dx^2-c^2dt^2$ erkennt man $dx^2=c^2dt^2$, falls $ds^2=0$ gilt. Division durch $dt$ ergibt $v^2=c^2$, eine Lösung dieser Gleichung ist $v=c$. $v$ ist der Betrag der Geschwindigkeit. $ds^2=0$ impliziert also $v=c$.

Ein Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit $v$, für das $ds^2=0$ gilt, bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit.
Umgekehrt folgt aus $v = c$  dass $ds^2=0$ gelten muss.