Kugelsymmetrisches Gravitationsfeld

Home-Mobil   Home-PC

Die Schwarzschildmetrik

Eine größere Darstellung des Bildes

Die Schwarzschildmetrik beschreibt  Raum-Zeit-Abstände im  kugelsymmetrischen Gravitationsfeld.

Sie gilt außerhalb einer Massenverteilung, d.h. falls sich die Massenverteilung in eine Kugel mit Radius R einschließen lässt und r > R ist.

Es wird R > 2a angenommen

Es ist a = GM/c2 , G ist die Gravitationskonstante, M die felderzeugende Masse, c die Konstante für die Vakuumlichtgeschwindigkeit.

rs = 2a heisst  Schwarzschildradius. Im Abstand  rs = 2a vom Gravitationszentrum befindet sich der  Ereignishorizont eines  Schwarzen Loches.

In der Schwarzschildmetrik wird dt2 mit dem Faktor  (1 - 2a/r) multipliziert.

Die nachfolgende Interpretation habe ich in der Literatur nicht gefunden, dennoch erscheint sie mir naheliegend. Allerdings berücksichtige ich möglicherweise nicht alle Eventualitäten, so dass sich Fehler einschleichen können:
 
Die Ausdrücke dt und  dt * (1-2a/r)1/2 interpretiere ich folgendermaßen:

dt * (1-2a/r)1/2ist die Zeitdifferenz, die im Abstand r vom Gravitationszentrum für ein Ereignis von einem dort lokalisierten Beobachter gemessen wird. 

Sie ist kleiner als die Zeitdifferenz dt eines Beobachters, der sich weit entfernt vom Gravitationszentrum befindet, und die Zeitdifferenz für das gleiche Ereignis misst.

Diese Interpretation gründet sich auf die Beobachtung, dass die Schwarzschildmetrik in die gewöhnliche dreidimensionale euklidische Metrik übergeht (in Kugelkoordinaten), falls r "sehr gross" wird (bzw. gegen Unendlich strebt).

Die Zeit  : = dt * (1-2a/r)1/2  mißt dann die  Eigenzeit eines Beobachters im Gravitationsfeld, lokalisiert im Abstand r vom Gravitationszentrum. Für r = 2a verschwindet die Eigenzeit in Bezug auf dt, d.h. für jedes endliche Zeitintervall dt, hat die Eigenzeit  den Wert Null.

Ein Ereignis am Ereignishorizont habe die endliche Zeit   > 0, dann muss die entsprechende Zeitmessung dt für einen weit entfernten Beobachter den "Wert" Unendlich ergeben, d.h. Ereignisse am Ereignishorizont erscheinen für einen weit entfernten Beobachter unendlich in der Zeit gedehnt.

Der Ausdruck dr2 / (1 - 2a/r) sieht für r -> 2a singulär aus (als würde er gegen Unendlich streben).

Allerdings benötigt ein zurückzulegender Weg dr eine endliche Zeit dt (was immer sich dort bewegen möge).
In Kugelkoordinaten beschreibt dr einen radialen Zuwachs (wenn dr > 0 ist), bzw. eine Abnahme des radialen Abstandes für dr < 0. Für jede endliche Zeit dt beobachtet ein entfernter Beobachter am Ereignishorizont aber dr = 0, also keine radiale Bewegung. Damit ist der Quotient dr2 / (1 - 2a/r) undefiniert, da Zähler und Nenner beide den Wert Null annehmen.


Spekulationen zu r < 2a

Schwarzschildmetrik

Eine größere Darstellung des Bildes

Für $r<2a$ wird

$\displaystyle 1-\frac{2a}{r}$ negativ, damit ist auch der Term

$c^2dt^2(\displaystyle 1-\frac{2a}{r})$ negativ.

Der Ausdruck $-  \displaystyle \frac{dr^2}{1-\frac{2a}{r}}$ wird positiv.

Bei radialer Bewegung ergeben die Winkelkoordinaten keinen Beitrag zu $ds^2$.

Für $\displaystyle r=\frac{a}{4}$ folgt dann z.B.


$ds^2=c^2dt^2(1-8)+\displaystyle \frac{1}{7}dr^2=$

$-7c^2dt^2+\displaystyle \frac{1}{7}dr^2$

Für kleines $dr^2$, z.B. für $dr^2<c^2dt^2$,

ist $ds^2<0$.

$ds^2<0$ wird in der Relativitätstheorie als raumartiger Abstand definiert.
Ereignisse, die einen raumartigen Abstand zueinander haben, sind kausal nicht zusammenhängend.

Ereignisse werden durch die Angabe von Ort- und Zeit-Koordinaten lokalisiert.

$ds^2=0$ beschreibt die Ausbreitung von Lichtteilchen. Hierüber werden Nullgeodäten definiert.

$ds^2>0$ beschreibt Ereignisse, die einen zeitartigen Abstand zueinander haben. Hierdurch werden Bewegungen von Materie im dreidimensionalen Raum erfasst, z.B. Planetenbewegungen, Flug einer Rakete etc.

$dr^2<c^2dt^2$ ist z.B. gegeben, falls


$\displaystyle \frac{dr}{dt}<c$ gilt.

$\displaystyle v=\frac{dr}{dt}$ interpretiere ich als radiale Geschwindigkeit.

Für hinreichend großes $dr^2$ wird $ds^2>0$.

Das folgt z.B. daraus, dass $-\displaystyle \frac{dr^2}{1-\frac{2a}{r}}$ gegen

$\infty$ strebt, falls $r<2a$ ist und $dr$ gegen $\infty$ strebt.

Wenn Geschwindigkeiten $\displaystyle v=\frac{dr}{dt}>c$  möglich sind, könnte dieser Fall eintreten.

Bemerkung:

$dt<0$ und $dt>0$ haben zur Folge:


$dt^2>0$.

Aus $d\tau^2=dt^2(1-\frac{2a}{r})$ folgere ich

$d\tau^2<0$, falls $r<2a$ gilt.
Das heißt aber auch, dass $d\tau<0$ oder $d\tau>0$ nicht gelten können.

Frage: ist die Bewegung weder rückwärts in der Zeit noch vorwärts in der Zeit?