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Newtonsche Mechanik und Keplersche Gesetze 01

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letzte Änderungen: 01.10.15

Die nachfolgenden Überlegungen orientieren sich an einem Skriptum über Astronomie, herausgegeben von der "Gruppe aktiver Fachschafter Mathe-Physik" an der LMU München (WiSe 1989/90), nach einer Vorlesung von Prof. Kudritzki.

In den Formeln werden die Malpunkte weggelassen (vgl. hierzu den Link zu den Konventionen, s.o.).


Gravitationskraft zwischen zwei Massenschwerpunkten

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Die Gravitationskraft zwischen zwei Massen M und m, deren Massenschwerpunkte sich im Abstand r voneinander befinden, berechnet sich folgendermaßen:

G : Gravitationskonstante
KGrav : Gravitationskraft
M, m Massen, die gravitativ wechselwirken
r : der Richtungsvektor zwischen den Massenschwerpunkten
r der Betrag von r, r = |r|


In der angegebenen Formel sind die Richtung der Kraft K (= KGrav) und die des Vektors r gerade entgegengesetzt.
Das Bild in der Mitte der Tabelle verdeutlicht den Sachverhalt: die Kraft K wird von der Masse M auf die Masse m ausgeübt, und wirkt von m in Richtung M, während der Vektor r vom Massezentrum der Masse M auf das Massenzentrum der Masse m zeigt.

Diese Form der Darstellung ist willkürlich, die Masse m wirkt mit der gleich großen Kraft -K auf die Masse M.

Auf Grund ihrer Trägheit erfahren die beiden Masse m und M eine Beschleunigung.
Die Beschleunigung folgt aus dem Newtonschen Kraftgesetz F = m * a. Im oben angegebenen Fall ist F = KGrav.


Gravitationskräfte in einem Planetensystem

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Um zu Bewegungsgleichungen für die Planeten des Sonnensystems zu kommen, müssen ihre Gravitationskräfte untereinander und die Wechselwirkungen mit der Sonne berücksichtigt werden:

mi : die Planeten des Sonnensystems
MS : die Sonne
ri,S : die Richtungsvektoren vom Massenzentrum der Sonne auf die Massenzentren der Planeten
ri,k : der Richtungsvektor vom Zentrum des Planeten k auf das Zentrum des Planeten i


Der Nullpunkt des Koordinatensystems könnte z.B. die Erde sein. Dann ist ri der Richtungsvektor, dessen Spitze auf den Planeten i zeigt, rS zeigt mit der Spitze auf die Sonne, ri,S = ri - rS , ri,k = ri - rk .

Auf Grund der großen Entfernungen der Planeten zueinander werden sie als punktförmig betrachtet, d.h. ihre endliche Ausdehnung wird bei der Berechnung der Bewegungsgleichungen nicht berücksichtig. Das Massenzentrum fällt bei dieser Betrachtung mit dem Ort des Planeten zusammen.

Die gravitative Wechselwirkung der Planeten untereinander ist "sehr klein" gegenüber der Anziehung der Planeten durch die Sonne, sie wird bei den folgenden Betrachtungen vernachlässigt.

Hierdurch vereinfachen sich die Gleichungen:

mpl : die Masse eines Planeten des Sonnensystems
rpl : der Ortsvektor, der auf den Planeten mpl zeigt (z.B. von der Erde aus betrachtet)
MS : Masse der Sonne
rs : Ortsvektor, der auf die Sonne zeigt (z.B. von der Erde aus betrachtet)
rpl,S : der Richtungsvektor vom Massenzentrum der Sonne auf das Massenzentrum des Planeten mpl


Die Gleichung (2) kommt durch die Wirkung der Kraft zustande, die von einem Planeten auf die Sonne ausgeübt wirkt. Sie ist gleich groß aber entgegengesetzt der Kraft, die die Sonne auf den Planeten ausübt.


Planetenbewegungen vom Zentrum der Sonne aus betrachtet

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Man dividiere Gleichung (1) durch mpl, Gleichung (2) durch MS
und subtrahiere anschließend (1) - (2)


r := rpl,S beschreibt in der letzten Gleichung die Bewegung des Planeten relativ zur Sonne, mit der Sonne im Koordinatenursprung. r zeigt von der Sonne auf den Planeten.

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