Funktionentheorie II 01


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Die nachfolgenden Inhalte beziehen sich zum Teil auf eine Vorlesung über Funktionentheorie, die ich im Wintersemester 1976/77 an der Technischen Universität Berlin gehört habe.
 
Als begleitende Literatur für die älteren Darstellungen kann ich folgende Bücher empfehlen:

(1) Functions of One Complex Variable, John B. Conway, Springer Verlag New York, Heidelberg, Berlin, 1975.
(2) Complex Analysis, Lars V. Ahlfors, Second Edition, McGraw-Hill Book Company, 1966

"Neuere Literatur" (zum Vergleich):

(3) Funktionentheorie I,II, Reinhold Remmert, Springer Verlag, 1989 (Fkt I),1991 (Fkt II)

(4) Neuere Vorlesungsinhalte (SS 1997, LMU München, siehe Link Funktionentheorie I VL)

Vieles sieht natürlich ein bisschen alt aus, aber ich denke, es kann interessant sein, frühere Darstellungen der Funktionentheorie mit den Inhalten neuerer Lehrbücher und Vorlesungen zu vergleichen.

Es ist auch nicht gesagt, dass ältere Darstellungen unbedingt schlechter sind. Wissen kann im Laufe der Zeit verlorengehen, und die Anstrengungen in vielen Bereichen der modernen Wissenschaft sind nicht immer nur an wissenschaftlichen Inhalten und ihrer Erforschung orientiert. Professoren stehen oft unter Veröffentlichungszwang, ob sie nun ansprechende Ergebnisse haben oder nicht, wissenschaftliche Hilfskräfte arbeiten oft für fremde Interessen und die Betreung von Studenten wird gelegentlich auf Grund "wichtigerer Dinge" vernachlässigt. Es ist auch schade, wenn gerade die kreative Zeit junger Menschen für Aufgabenstellungen eingesetzt wird, die eigentlich niemandem etwas nutzen. Studenten arbeiten kaum an wirklich interessanten Fragestellungen, sie arbeiten oft an Problemen, die schon längst gelöst sind.

In den Jahren 1995 - 1997 habe ich unter anderem Vorlesungen über Funktionentheorie an der LMU München mitbetreut. Aus dieser Zeit stammen auch die meisten Übungsaufgaben. Somit vermittelt diese Webseite eine Mischung verschiedener Zeitepochen.

Zunächst handelt es sich vor allem um eine Materialsammlung, d.h. die Inhalte werden so präsentiert, wie sie sich gerade aus meiner Erinnerung und der aktuell untersuchten Thematik ergeben. Über Hyperlinks versuche ich möglichst viele Querverbindungen aufzuzeigen. Zu einem späteren Zeitpunkt wird sich wahrscheinlich eine gründlichere Strukturierung durchsetzen.
 
Ich möchte ausdrücklich betonen, dass ich zur Zeit nicht professionell in den behandelten Gebieten arbeite. Ich kann auch keine Garantie dafür übernehmen, dass alles korrekt ist. Es ist ein Angebot zur Diskussion und zum Nachdenken, ein mathematisch interessierter Mensch muss sich ohnehin selbst davon überzeugen, ob eine getroffene Aussage korrekt ist oder nicht, am besten durch den Vergleich verschiedener Publikationen und / oder durch eigenes Nachdenken oder Nachrechnen.

Auf den "ersten Blick" ist mir bei meinen gegenwärtigen Studien folgendes aufgefallen:

Der Gebrauch des Begriffs "analytisch" hat sich im Laufe der Zeit zu "holomorph" gewandelt, aus "differenzierbar" wurde "komplex differenzierbar", die klassischen Begriffe "Cauchyscher Integralsatz", "Residuenkalkül" werden nach wie vor gelehrt. An der Darstellung der komplexen Zahlen und ihren Anwendungsbereichen hat sich (meines Wissens) nicht viel geändert. Neu ist (für mich) die Verwendung von "homologisch einfach zusammenhängenden Gebieten" für den Riemannschen Abbildungssatz. In älteren Lehrbüchern wurde der topologische Aspekt stärker betont.


Konventionen
C bezeichne die Menge der komplexen Zahlen, |z| den Betrag einer komplexen Zahl z. R bezeichne die Menge der reellen Zahlen. R+ bezeichne die Menge der positiven reellen Zahlen.

Die Einheitskreisscheibe (der Einheitskreis) E ist definiert als: E := {z C: |z| < 1}.


Die "höhere Funktionentheorie" befasst sich (meines Wissens, zumindest in früheren Zeiten) unter anderem mit dem  Randverhalten holomorpher (analytischer, meromorpher) Funktionen, die im "Einheitskreis" definiert sind. Eine der dabei behandelten Fragestellung ist, unter welchen Bedingungen sich solche Funktionen stetig oder sogar analytisch fortsetzen lassen.

Man beschränkt sich oft auf den Einheitskreis, da sich kompliziertere Punktmengen unter bestimmten Voraussetzungen auf den Einheitskreis abbilden lassen.
 
Der  Riemannsche Abbildungssatz besagt, dass sich jedes einfach zusammenhängende Gebiet G C , das Teilmenge von C ist, biholomorph auf die Einheitskreisscheibe E abbilden läßt (Ref. Remmert Fkt II, s.o)

Eine biholomorphe Abbildung ist dadurch charakterisiert, dass ihre Umkehrabbildung existiert und holomorph ist, d.h. die Abbildung ist umkehrbar und stetig, (da eine holomorphe Funktion insbesondere stetig ist).

Zusammenhängende Mengen werden in topologischen Räumen definiert. Um den Riemannschen Abbildungssatz verstehen zu können, werden daher zunächst einige Aussagen über topologische Räume angegeben. Insbesondere sind offene Mengen Basisbestandteile topologischer Räume. Ein Gebiet wird als offene, zusammenhängende Menge definiert. Einfach zusammenhängend ist eine spezifische Eigenschaft der komplexen Zahlenebene.
 
Alle metrischen Räume sind topologische Räume.

Metrische Räume definieren offene Mengen über die ihnen innewohnende Metrik.
Die sich hieraus ergebenden Eigenschaften offener Mengen sind die Axiome der offenen Mengen in topologischen Räumen.

Eine offene Menge O eines metrischen Raumes M mit der Metrik d ist dadurch charakterisiert, dass um jeden ihrer Punkte x0 eine "Kreisscheibe" existiert, die ganz in der Menge O liegt, d.h. es existiert eine Menge der Form {x  M: d(x0,x) < r, mit r  R+}, die ganz in O liegt.

Beispiele:
R ist ein metrischer Raum mit der Metrik
d(x,y) = |x - y| , x,y R, alle offenen Intervalle sind offene Mengen.
C ist ein metrischer Raum mit der Metrik
d(z,w) = |z - w|, z, w C, alle Kreisscheiben in der komplexen Ebene (ohne Rand) sind offene Mengen.

Das Komplement einer offenen Menge O in einem metrischen Raum M ist definiert als die Menge alle Punkte
M, die nicht in O liegen. 

Als Randpunkt einer Menge A in M ist ein Punkt x  M definiert, so dass jede Kreisscheibe mit x als Zentrum
sowohl Punkte aus A als auch aus dem Komplement von A 
enthält. Die Menge aller Randpunkte von A

heisst Rand von A.

Eine Menge A in einem topologischen Raum M

heisst abgeschlossen,

wenn ihr Komplement in M offen ist.


Biholomorphe Abbildungen kann man sich anschaulich so vorstellen, dass sie einfach zusammenhängende Gebiete in der Ebene beliebig verformen können (ohne dabei den Zusammenhang zu verändern).
 
Der Zusammenhang ist eine topologische Eigenschaft, die unter topologischen Abbildungen invariant ist.
Topologisch ist eine Menge zusammenhängend, wenn sie nicht aus mehreren disjunkten offenen Teilmengen besteht.

Anschaulich ist eine Punktmenge in der Ebene zusammenhängend, wenn man "mit dem Bleistift zwei verschiedene Punkte der Menge verbinden kann, ohne dabei absetzen zu müssen". Man spricht von Polygonzügen, die ganz in der Menge liegen, und die beiden Punkte miteinander verbinden (das sind stetige Kurven, die aus geraden Teilstücken bestehen).
 
Zwei Mengen sind  disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Punkte besitzen, somit bilden zwei Kreisscheiben in der Ebene, die sich nicht schneiden, keine zusammenhängende Menge.

Was eine "offene Menge" ist, wird im nächsten Abschnitt erklärt, in der Ebene sind z.B. alle Kreisscheiben ohne Rand offene Mengen, und die Vereinigung sowie der Durchschnitt offener Mengen ist eine offene Menge.

In allgemeinen topologischen Räumen werden die offenen Mengen und ihre mengentheoretischen Eigenschaften (Verhalten bzgl. Durchschnitt, Vereinigung) als Axiome eingeführt. Stetigkeit wird dann über die offenen Mengen definiert.
 
Zusammenhängende offene Mengen in C "ohne Löcher" heissen einfach zusammenhängend. Sie sind dadurch charakterisiert, dass ihr Komplement bzgl. der erweiterten komplexen Zahlenebene zusammenhängend ist.


Die erweiterte komplexe Zahlenebene ist die Menge C vereinigt mit der Menge, die den Punkt  enthält. In dieser Menge ist z.B. das Äußere des Einheitskreises, {z C, |z| > 1} VEREINIGT mit dem Punkt , eine offene Menge. Alle offenen Mengen von C sind weiterhin offen in der erweiterten komplexen Zahlenebene.

Man kann eine Metrik in der erweiterten komplexen Zahleneben definieren, indem man die Oberfläche einer Kugel (ohne den Nordpol) in geeigneter Weise auf die Zahlenebene C abbildet (stereographische Projektion), und dem Nordpol den Punkt  zuordnet. Die offenen Mengen auf der Kugeloberfläche werden dann auf offene Mengen in der erweiterten komplexen Zahleneben abgebildet.



Eine Kreisring in der Ebene ist zusammenhängend, aber nicht einfach zusammenhängend (er hat ein "Loch" in der Mitte). Kreisringe bilden die Klassen der 2-fach zusammenhängenden Mengen.

Stanzt man n disjunkte Löcher in eine Kreisscheibe, so erhält man eine n - fach zusammenhängende Menge.


Der Begriff  "Topologie" abstrahiert vom Abstandsbegriff, über den z.B. eine Metrik definiert werden kann. Hat man eine Metrik d(x,y) für Elemente einer Menge x, y definiert, so kann man offene Mengen definieren.

Stetige Abbildungen eines topologischen Raumes T1 in einen topologischen Raum T2 sind so definiert, dass das Urbild einer offenen Menge wieder eine offene Menge ist (man findet diese Eigenschaften stetiger Funktionen bei stetigen Abbildungen von R -> R, C -> C, Rn -> Rn).  Topologische Abbildungen haben die zusätzliche Eigenschaften, dass sie umkehrbar sind und ihre Umkehrabbildung stetig ist. Es folgt, dass topologische Abbildungen offene Mengen auf offene Menge abbilden.


Ein zusammenhängende Bereich in C wird als Gebiet bezeichnet 

Bereiche sind nicht leere offene Mengen in C (Ref. Remmert, Fkt I, s.o.)


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