Funktionentheorie II 02

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Stereographische Projektion

Eine größere Darstellung des Bildes


In Ahlfors findet man eine analytische Beschreibung dieser Projektion.

Sei R = {(x1,x2,x3R3 : x12 + x22 + x32 = 1}, sei N = (0,0,1). Für z = x + iy C sei
, und für  sei P( ) = N. Sei d3 die euklidische Metrik im R3 und für z,z´ aus der erweiterten komplexen Ebene sei d(z,z´) = d3(P(z),P(z´)), dann ist die erweiterte komplexe Zahlenebene bzgl. dieser Metrik ein metrischer Raum.


Homologisch einfach zusammenhängende Gebiete
 
Homologisch einfach zusammenhängende Gebiete (ungleich C) lassen sich (nach Remmert) stets biholomorph auf die Einheitskreisscheibe E abbilden.

Auf Seite 218 Fkt I schreibt Remmert (sinngemäß): dieser Begriff (homologisch einfach zusammenhängend) ist eigentlich überflüssig, die homologisch einfach zusammenhängenden Bereiche in C sind genau die topologisch einfach zusammenhängenden Bereiche, d.h. die "Bereiche ohne Löcher".



Verschiedene Chrakterisierungen einfach zusammenhängender Gebiete

Nach der Vorlesung von 1976/77 gilt folgendes:

Sei G  C ein Gebiet. Folgende Aussagen sind äquivalent:
 
(1) G ist einfach zusammenhängend, wenn ihr Komplement bzgl. der erweiterten komplexen Zahlenebene zusammenhängend ist.
 Das Symbol bezeichne die erweitere komplexe Zahlenebene, d.h. die komplexe Zahlenebene C erweitert um den Punkt .

<=> G = C oder G ist konform äquivalent zu E = {w  C, |w| < 1}

2 Gebiete G, D  C heißen konform äquivalent, wenn sie sich durch eine schlichte Funktion aufeinander abbilden lassen.
Eine Funktion f : G -> D heißt schlicht, wenn sie analytisch und injektiv ist.

(2) Je zwei Kurven 01 in G mit gleichen Anfangs- und Endpunkten sind zueinander homotop bzgl. G, wobei die Zwischenkurven u stückweise stetig differenzierbar gewählt werden können, falls 01 stückweise stetig differenzierbar sind.
(zur Homotopie vgl. den Index zur Funktionentheorie)

(3) Jeder Zykel in G ist nullhomolog.
Die Definition eines Zykels kann ich momentan nicht finden. Ich vermute hinter diesem Begriff eine geschlossene Kurve, d.h. Anfangs- und Endpunkt fallen zusammen. Bei der Definition einer Kurve muss gewährleistet sein, dass die Integrale existieren. Das ist z.B. der Fall, wenn die Kurve über eine stetig differenzierbare Abbildung eines reellen abgeschlossenen Intervalls in die komplexe Zahlenebene definiert ist. Wenn  z(t) eine Parameterdarstellung der Kurve  ist, a  b, dann gilt:

mit z(t) = (z1(t),z2(t)), z´(t) = (z´1(t),z´2(t)), ´ bezeichnet die Ableitung nach t.

(4)  für jeden Zykel in G und jede analytische Funktion f.

(5) Jede analytische Funktion f in G besitzt in G eine Stammfunktion.

(6) Jede analytische Funktion f in G mit f(z) 0 besitzt in G eindeutige Zweige von log(f(z)) und f(z)a = ea log(f(z)), insbesondere also von .


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