Funktionentheorie I 01

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Referenz auf eine Vorlesung über Funktionen­theorie

Der nachfolgende Text bezieht sich auf den Inhalt einer Vorlesung über Funktionentheorie I, wie sie 1997 an der LMU München durchgeführt wurde. Ich beschränke mich im wesentlichen auf einen Überblick (ohne Beweise), der auf Grund einer Vorlesungsmitschrift entstanden ist. An der Durchführung der Übungen war ich als studentische Hilfskraft beteiligt. Die auf dieser Website angegebenen Skripte zu den Übungen wurden von mir erstellt und an die Studenten meiner Übungsgruppen verteilt. Der Text auf diesen Seiten enthält Ergänzungen, die von mir vorgenommen wurden. Fehler können sich eingeschlichen haben, der Stoff ist für mich zu komplex, um alles fehlerfrei darstellen zu können. Ich bitte daher den Leser, die Darstellungen als eine Anregung aufzufassen, die er selber überprüfen sollte.

Die Vorlesungsmitschrift ist nicht vollständig.


Stichworte dieser Seite

Gebiet, offene Menge, innere Punkte, Kreisscheibe, Randpunkte, abgeschlossene Hülle, zusammenhängend, einfach zusammenhängend, sternförmig, komplex differenzierbar, Cauchy Riemannsche partielle Differential­gleichungen
Bemerkung: anstatt differenzierbar wird oft diffbar geschrieben

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Ebene Topologie

Ein einfach zusammen­hängendes Gebiet wird nach Kurt/Endl, Wolfgang Luh, Analysis III, folgendermaßen charakterisiert:
ein Gebiet G heißt einfach zusammenhängend, wenn jeder in G verlaufende, einfach geschlossene Polygonzug nur Punkte von G umschließt.

Eine zusammen­,hängende Menge ist folgendermaßen definiert (Kurt/Endl, Wolfgang Luh, Analysis II):
C ist zusammenhängend, wenn es zu jedem Paar x, y C Punkte x = x1,...,xm = y gibt, so daß die Strecken [xi,xi+1] ganz in G liegen (i = 1,...,m-1).


Eine größere Darstellung des Bildes

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Holomorphe Funktionen

z sei eine komplexe Zahl, f : z -> u(z) + iv(z) eine holomorphe Funktion.
f bildet z auf die komplexe Zahl u(z) + iv(z) ab, d.h. f ist eine komplexwertige Funktion einer komplexen Variablen.

Für z gibt es die Darstellungen z = x + iy, mit reellen Zahlen x und y, oder z = (x,y).

i ist eine komplexe Zahl mit i2 = -1, u(z) = u(x,y) und v(z) = v(x,y) sind reelle Zahlen.
Damit sind u und v reellwertige Funktionen zweier reeller Variabler, und hierfür lassen sich im Sinne der reellen Analysis die partiellen Ableitungen bestimmen.

Der Malpunkt zwischen i und v bzw. zwischen i und y ist (entsprechend allgemein gebräuchlicher Konvention) weggelassen.

ux und uy bzw. vx und vy bezeichnen partielle Ableitungen der Funktionen u(x,y) bzw. v(x,y).
ux ist die partielle Ableitung der Funktion u(x,y) nach x, uy die partielle Ableitung der Funktion u(x,y) nach y.
(für v entsprechend).
 
Für holomorphe Funktionen ist
ux = vy und uy = -vx (Cauchy Riemann)

Für einführende Betrachtungen zur Funktionentheorie und zur Darstellung der komplexen Zahlen verweise ich auf die Seiten Grundlagen.

Die nachfolgenden Absätze beschreiben Eigenschaften der partiellen Ableitungen holomorpher Funktionen.

fx ist definiert als ux + ivx , fy als uy + ivy

fx - ify = ux + ivx - i(uy + ivy) = ux + ivx - i(-vx +iux) = 2(ux + ivx) = 2fx
 
Behauptung:
für holomorphe Funktionen gilt:
Beweis: fx + ify = ux + ivx + i(uy + ivy) = 
ux + ivx +i(-vx +iux) = 0 (i2 = -1)

Ausdrücke der Form dx, dy bzw. df = fxdx + fydy sind zunächst einmal undefiniert. Sie bekommen eine Bedeutung, wenn man entlang einer Kurve integriert, der Integrand dx wird definiert als x'(t)dt, wenn x(t) eine stetig differenzierbare Kurve beschreibt, entsprechendes gilt für dy.  Über den Parameter t wird integriert.


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