Lexikon Mathematik

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Überblick
Gesamtindex Mathematik
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Der Überblick zeigt die im Lexikon beschriebenen Themenbereiche. Die Darstellung ist weit davon entfernt, vollständig zu sein. Sie wird aber im Laufe der Zeit weiter anwachsen.

Der Gesamtindex Mathematik enthält eine alphabetische Auflistung mathematischer Begriffen mit Referenzen auf spezifische Indexseiten, Übungsaufgaben und andere Darstellungen mathematischer Sachverhalte.

Indizierungen zu den angegebenen mathematischen Teilgebieten findet man auf der Mathematik Eingangsseite. Man erreicht diese Seite über den Link << Home >>.


Erläuterung einiger grundlegender Begriffe zur elementaren Algebra und Analysis

Abgeschlossenheit

Eine Menge mit einer Verknüpfung zwischen den Elementen dieser Menge heißt abgeschlossen, wenn die Verknüpfung nicht aus der Menge herausführt. Verknüpfungen zwischen den Elementen einer Menge sind Operationen auf dieser Menge.

Beispiel 01
die Menge der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen bzgl. der Addition, aber nicht abgeschlossen bzgl. der Subtraktion.

Beispiel 02
die Menge der ganzen Zahlen ist abgeschlossen bzgl. der Addition und Subtraktion, aber nicht bzgl. der Division.

Gruppenaxiome

Eine Menge G zusammen mit einer Operation + bildet eine Gruppe, wenn folgendes gilt:
(1) für alle Element a,b aus G gilt: a + b ist ein Element aus G (Abgeschlossenheit bzgl. +)
(2) für alle Elemente a,b,c aus G gilt: a + (b + c) = (a + b) + c (Assoziativgesetz)
(3) es gibt ein neutrales Element 0 aus G, so dass für alle Elemente a aus G gilt: a + 0 = a
(4) sei a ein Element der Gruppe G, + die Gruppenoperation, 0 das neutrale Element der Gruppe bzgl. +, dann gibt es ein Element -a aus G für das gilt: a + (-a) = 0
Das Element -a heißt inverses Element zu a.

Falls zusätzlich gilt: für alle Elemente a, b aus G gilt: a + b = b + a (Kommutativgesetz)
spricht man von einer kommutativen Gruppe

Körperaxiome

Eine Menge K mit 2 Operationen +, * bildet einen Körper, wenn
(1) K bzgl. + und * jeweils eine kommutative Gruppe bildet
(2) für alle Elemente a,b,c aus K gilt: a * (b + c) = a * b + a * c (Distributivgesetz)

Sei 0 das neutrale Element bzgl. der Operation + und 1 das neutrale Element bzgl. der Operation *
Dann gilt für alle Elemente a aus K: 1 * a = a, a + 0 = a, 0 * a = 0.

Operationen

Sei M eine Menge. Eine Operation op ist eine Abbildung op: M x M -> M, die jedem Paar von Elementen a, b aus M eindeutig ein Element a op b aus M zuordnet. Andere Schreibweise hierfür: op(a,b).

Beispiele für solche Operationen sind die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division reeller Zahlen.


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Schlüsselwörter zu den Grundlagen der Analysis

Operationen, Verknüpfungen, Abgeschlossenheit, neutrales Element, inverses Element
Halbgruppen, Gruppen Körper, Assoziativgesetz, Kommutativ­gesetz, Distributiv­gesetz



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