Semantik Index Mathematik 01

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letzte Änderungen 24.09.2015   nächste Seite

Grundlegende Begriffe

Anmerkung:
(1) kursiv geschriebene Begriffe sind im Semantik Index an anderer Stelle fettgedruckt angegeben/definiert.
(2) Viele der hier verwendeten Begriffe können im "Gesamtindex Mathematik" nachgeschlagen werden.
(3) Referenzen auf Teilindizierungen des "Gesamtindex Mathematik" werden in der Form (Ref -> Teilindex) angegeben,
z.B. (Ref -> SchulInd). Manche der Begriffe sind direkt verlinkt. Zum "Gesamtindex Mathematik" gelangt man über den Link << Home >>.
(4) Zusammenhängende Bereiche werden in Klammern [ ] eingeschlossen.
(5) Auf einen : hinter einem fettgedruckten Begriff folgt eine Erklärung.
(6) Spezialisierungen eines Begriffes
...werden eingerückt wiedergegeben.

Arbeitsbegriffe
...Axiome, Beweise, Definitionen, Lemmata (Hilfssätze), Sätze, Theoreme
......Körperaxiome, Gruppenaxiome

Abbildungen
Abbildungen sind spezielle Relationen
...spezielle Abbildungen
......Operationen zwischen Zahlen
......Funktionen
...mögliche Eigenschaften von Abbildungen
......{injektiv, surjektiv, [bijektiv (injektiv + surjektiv)]}, stetig, gleichmäßig stetig, absolut stetig,
......linear, homomorph, isomorph
...Abbildungen mit speziellen Eigenschaften sind
......Automorphismen, Homomorphismen, Isomorphismen,
......[lineare Abbildungen, adjungierte Abbildungen, selbstadjungierte Abbildungen, Unitäre Abbildungen,
......(Lineare Algebra), (Ref -> I2)],
......Topologische Abbildungen, (Ref -> I3)
......[Konforme Abbildungen (Funktionentheorie), (Ref -> I3)]

angeordnet:
für natürliche, rationale und reelle Zahlen sind Ordnungsrelationen definiert (größer, kleiner Relation),
man sagt diese Zahlenmengen sind angeordnet (Ref ->ThMa/Körperaxiome)

Differentiationsregeln
...Kettenregel, Produktregel, Quotientenregel, Differentiation einer Umkehrfunktion
(Ref -> ThMa/Ableitungsregeln)

Extremwerte
...spezelle Eigenschaften von Funktionswerten einer reellwertigen Funktion einer oder mehrerer Variabler
......Extremwerte rellwertiger Funktionen einer Variabler werden in den Kurvendiskussionen der Schulmathematik untersucht (Ref -> ThMa), f(x)
.........Minimum, Maximum
......Extremwerte reellwertiger Funktionen mehrer Variabler sind Gegenstand von Analysisvorlesungen an der Universität (Ref -> I1), f(x1,...,xn)
.........Minimum, Maximum

Funktionen
Unter Funktionen werden im folgenden spezielle Abbildungen verstanden

(1) Abbildungen, die aus dem Rm in den Rn abbilden, sind Funktionen
Vereinbarung 01
...R bezeichne die Menge der reellen Zahlen, n, m natürliche Zahlen
...der Rk bezeichne das k-fache kartesische Produkt von R, k eine natürliche Zahl
...das "kartesische Produkt" ist im "Gesamtindex Mathematik" angegeben
...die Elemente des Rk sind k-Tupel reeller Zahlen
(2) Abbildungen, die aus R oder C in C abbilden, sind Funktionen
Vereinbarung 02
...C bezeichne die Menge der komplexen Zahlen
(3) Abbildungen die aus C in R abbilden, sind Funktionen

...spezielle Funktionenklassen
......reellwertige Funktionen einer reellen Variablen:
......das sind Abbildungen aus R in R, sie sind Gegenstand der eindimensionalen reellen Analysis
......Anwendungen: Differentialrechnung, Integralrechnung, Extremwertprobleme, Kurvendiskussionen
......reellwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen:
......das sind Abbildungen aus dem Rk in R, der Funktionswert ist eine reelle Zahl
......Notation: f(x1,...,xn) bezeichne eine reellwertige Funktion n reeller Variabler
......Abbildungen aus dem Rm in den Rn:
......der Funktionswert ist ein n-Tupel reeller Zahlen,
......in der Physik bezeichnet man solche Funktionen auch als vektorwertige Funktionen
.........Beispiel: das elektrische Feld E in der Physik (hier ist n = m = 3),
.........E = (E1,E2,E3), die Komponenten Ek des Feldes sind Funktionen der Ortskoordinaten (x1,x2,x3)
.........Notation: (f1(x1,...,xm),...,fn(x1,...,xm)) bezeichne eine vektorwertige Funktion m reeller Variabler,
.........die n Komponentenfunktionen fk sind reellwertige Funktionen m reeller Variabler
.........Anwendungen: Extremwertprobleme mehrerer Variabler, implizite Funktionen, Vektorfelder in der Physik
......komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen:
......das sind Abbildungen aus C in C
.........mögliche Eigenschaften
............komplex differenzierbar, reell differenzierbar (Ref -> I3)
.........Spezialisierungen
............analytische (holomorphe) Funktionen, meromorphe Funktionen, konforme Abbildungen,
............schlichte Funktionen (Ref -> I3)


..Anmerkung: die angegebene Einschränkung an den Funktionsbegriff wird nicht allgemein akzeptiert.
...Endl/Luh Analysis I (1972) definiert Funktionen als Abbildungen eines metrischen Raumes in einen Körper
...Wikipedia definiert Funktionen als beliebige Abbildungen zwischen Mengen: Artikel Funktion_(Mathematik) (2008)
...der Schülerduden Mathematik (2000) definiert Funktionen als Abbildungen zwischen Zahlenmengen

...mögliche Eigenschaften von Funktionen
......differenzierbar, integrierbar, quadratintegrierbar,
......monoton, streng monoton, umkehrbar (invertierbar),
......injektiv, surjektiv, bijektiv
......stetig, gleichmäßig stetig, absolut stetig,
......linear, homomorph, isomorph
......[analytisch, holomorph, meromorph, schlicht (analytisch + injektiv), (Funktionentheorie), (Ref -> I3)]

...Funktionen mit speziellen Eigenschaften sind
......Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, Polynome, Logarithmusfunktionen Wurzelfunktionen,
......trigonometrische Funktionen, Harmonische Funktionen, Subharmonische Funktionen,
......Elliptische Funktionen, Algebraische Funktionen, transzendente Funktionen

...spezielle Funktionen:
......[Gamma-Funktion, Riemannsche Zeta Funktion (Funktionentheorie)]


Funktionenreihen:
Funktionenreihen sind Reihen, deren Partialsummen über Funktionen gebildet werden

Funktionentheorie:
hierunter versteht man eine Erweiterung der reellen Analysis auf den Bereich der komplexen Zahlen
beschreibende Begriffe der Funktionentheorie
...komplexe Zahlen, Darstellungen komplexer Zahlen, (Ref -> I3)
...komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen
......komplexe und reelle Differenzierbarkeit
.........Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen, (Ref -> I3)
.........analytische (holomorphe) Funktionen
............Entwicklung analytischer Funktionen in "Potenzreihen, Taylorreihen" (Ref -> I3)
............Randverhalten analytischer Funktionen, analytische Fortsetzbarkeit
............schlichte Funktionen (analytisch und injektiv)
...............konforme Abbildungen
............mehrdeutige analytische Funktionen, Riemannsche Flächen
...............Umkehrung der Potenzfunktion (Wurzelfunktion) und der Exponentialfunktion (Logarithmus)
.........meromorphe Funktionen (analytisch bis auf Polstellen)
............Entwicklung meromorpher Funktionen in "Laurent-Reihen" (Ref -> I3)
.........harmonische Funktionen
......komplexe Integrationstheorie,
.........Kurven, Rektifizierbarkeit, Kurvenintegrale, Cauchyscher Integralsatz, Cauchysche Integralformel,
.........Residuenkalkül
............Anwendungen: Berechnung von Integralen, "Residuensatz" (Ref -> I3)
......Singularitäten
.........hebbare Singularitäten, Polstellen, wesentliche Singularitäten
...Klassifizierung einfach und mehrfach zusammenhängender Gebiete, Zusammenhang
......Abbildungseigenschaften einfach und mehrfach zusammenhängender Gebiete, Homotopie,
........Riemannscher Abbildungssatz

Infinitesimalrechnung
Hierunter versteht man in der Regel die Differential- und Integralrechnung als Teil der Analysis.
Die Infinitesimalrechnung
  • beinhaltet die Einführung der reellen Zahlen über Grenzwertprozesse (Limites), hierfür wird der Konvergenzbegriff benötigt.
  • auf der Menge der reellen Zahlen werden stetige, differenzierbare und integrierbare Funktionen definiert
  • beinhaltet die Definition der Differentiationsregeln und Integrationsregeln
  • definiert und beweist den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Integral
...Integraltypen
......Riemann-Integral, Lesbesgue-Integral, Stieltje-Integrale, Riemann-Stieltje-Integrale,
......Lebesgue-Stieltje-Integrale, Kurvenintegrale, uneigentliche Integrale

Integration
...Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Ref -> I1)
...beschreibende Begriffe der Integration
......Stammfunktion, Integrationsregeln, Integral, uneigentliches Integral, bestimmtes Integral,
......unbestimmtes Integral, Integrationskonstante, Existenz des Integrals, integrierbar, quadratintegrierbar

Integrationsregeln
...Integration durch Substitution, partielle Integration (Ref -> ThMa)


Konvergenzbegriff
Konvergenz ist für Folgen, Reihen, Funktionenfolgen und Funktionenreihen definiert, man unterscheidet zwischen
...punktweiser Konvergenz, Cauchy-Konvergenz,
...gleichmäßiger Konvergenz, kompakter Konvergenz, absoluter Konvergenz
...spezielle Konvergenzkriterien
......Konvergenzkriterien für Potenreihen
......Majorantenkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium

Kurven
...homologisch einfach zusammenhängend, Homotopie (Ref->I3)
...geschlossene Kurven, Windungszahl, Homotopieklassen, Fundamentalgruppe,
...Charakterisierungen einfach zusammenhängender Gebiete

Kurvendiskussion
...spezielle Untersuchungen der Eigenschaften von reellwertigen Funktionen einer reellen Variablen

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