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Allgemeine Relativitätstheorie

Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) beschreibt die Wechselwirkung zwischen Krümmung der Raumzeit und ihrer Energiedichte.

Sie erklärt die Gravitation als Folge der Krümmung von Raum und Zeit.

Die Bewegung von Teilchen in einem Gravitationsfeld wird durch das Äquivalenzprinzip beschrieben.

Energieteilchen mit der Ruhemasse Null (Photonen) haben eine Masse, die der gravitativen Wechselwirkung unterliegt. Hierüber kann die Ablenkung von Lichtstrahlen im Schwerefeld der Sonne erklärt werden.

Aus den Gleichungen der ART lassen sich Aussagen über die Entwicklung des Universums ableiten, z.B. unter welchen Bedingungen es kontrahiert bzw. expandiert. Sie erklärt die beobachtete kosmologische Rotverschiebung.  Die ART gibt Lösungen für astrophysikalische Probleme an, die über die Modelle der Newtonschen Mechanik hinausgehen (Periheldrehung des Merkur, Rotverschiebung von Photonen in einem Gravitationsfeld).  Sie macht Aussagen darüber, unter welchen Bedingungen Schwarze Löcher entstehen können, und beschreibt deren Eigenschaften und Wechselwirkung mit ihrer Umwelt. Die ART geht im Falle verschwindender Gravitationsfelder in die Spezielle Relativitätstheorie über.

Äquivalenzprinzip

träge Masse, schwere Masse, Beschleunigungskräfte

Eigenzeit



Die Eigenzeitdifferenz  wird von einer (gedachten) Uhr gemessen,

die relativ zu einer bewegten Masse ruht.

c ist der Betrag der Vakuumlichtgeschwindigkeit.

dt ist die Zeitdifferenz,

die ein als ruhend gedachter Beobachter
(mit einer relativ zu ihm ruhenden Uhr) misst,

der eine bewegte Masse beobachtet,
z.B. ein Meson, das sich der Erdoberfläche nähert.

  ist die Eigenzeitdifferenz der bewegten Masse.

v ist der Betrag der Relativgeschwindigkeit der bewegten Masse zum Beobachter.


Einsteinsche Feldgleichungen



Rik,
i,k = 0,...,3, ist der Ricci-Tensor

R
ist der Krümmungsskalar

Tik
. i,k = 0,...,3, ist der Energie-Impuls-Tensor,

G
ist die Newtonsche Gravitationskonstante,

c
ist der Betrag der Lichtgeschwindigkeit

Riemannscher Krümmungstensor

Krümmungstensor
ist der Riemannsche Krümmungstensor.

Ricci-Tensor


Eine größere Darstellung des Bildes


ist der Ricci-Tensor

Krümmungsskalar

R = Ri i    ist der  Krümmungsskalar

zur Bestimmung von R wird über alle vorkommenden Indizes i summiert

i = 0,1,2,3

Literatur: Fliessbach, Wheeler.

Die Einsteinschen Feldgleichungen sind

Tensorgleichungen.

Solche Gleichungen sind forminvariant gegen beliebige (stetig differenzierbare) Koordinaten-
transformationen
,

dies ist eine der Gründe, warum die Feldgleichungen als Tensorgleichungen geschrieben werden.

Koordinaten-
transformationen

bewirken in der Relativitätstheorie Übergänge zwischen verschiedenen Bezugssystemen.

Der Ricci-Tensor Rik ergibt sich aus dem Riemannschen Krümmungstensor durch Summation über gleiche Indizes.

Die Metrik gik gibt an, wie Abstände in dieser gekrümmten Raum - Zeit - bestimmt werden,
insbesondere bestimmt sie die Geodäten der Raum-Zeit

Geodäten

sind die Verbindungslinien von Raum - Zeit - Punkten,
entlang der sich Lichtstrahlen
und Materie bewegt,
wenn keine weiteren äußeren Kräfte einwirken.

 gik beschreibt das Gravitationsfeld und läßt sich lokal wegtransformieren, 
z.B. im Gravitationsfeld der Erde bei Übergang in das Bezugssystem eines frei fallenden Fahrstuhles 

Der Riemannsche Krümmungstensor beschreibt die Krümmung des Raumes
und läßt sich nicht lokal wegtransformieren, wenn der Raum gekrümmt ist.

Einsteinsche Feldgleichungen mit  Kosmologischer Konstante

Einsteinsche Feldgleichungen

Einsteinsche Feldgleichungen unter Verwendung des Einstein-Tensors



Energie - Impuls - Tensor



i,j = 1,2,3

Bei Teilchen mit Ruhemasse:

 || 0||, 
0 ist bei Teilchen mit Ruhemasse die Energiedichte der Ruhemasse = Ruhemasse pro Eigenvolumen

c : Betrag der Lichtgeschwindigkeit, 
vi Komponenten der Geschwindigkeit v
i = 1,2,3, 

 || * c2 || hat die Dimension einer  Energiedichte (Energie/Volumen)



Energie - Impuls - Tensor (2)



i,k = 0,...,3
Quelle: VL LMU München 1996 über ART

w : Energiedichte
Guv ist der Spannungstensor

er beschreibt die innere Spannung in dem Feldsystem,
z.B. den Druck

S beschreibt eine Energiestromdichte

Dimension einer Energiedichte:

[E/V] = kg*m2*s-2*m-3 = kg*m-1*s-2

[E] = [F] * m = N*m, 
E: Energie, F: Kraft, N: Newton, 
m: Meter, V: Volumen

Betrachung von S:

Si   ist eine Energiedichte multipliziert
mit einer Geschwindigkeit, also eine 

Energiestromdichte

S ist das Symbol für den 

Poyntingvektor
der Elektrodynamik

Druck:

[Druck] = [Kraft/Fläche] =
kg*m*s-2*m-2 =kg*m-1*s-2,

das ist die Dimension einer  Energiedichte (E)

E = m*c2 hat die Dimension
[E] = kg*m2/s2

  Energiedichte = Energie/Volumen

Energie - Impuls - Tensor der Elektrodynamik (1)

(SI - System)

T00 ist die  Energiedichte w,

w = (1/2) * (E * D + B * H)

D0E
B0H 

00 = 1/c2


Energie  - Impuls - Tensor der 
Elektrodynamik (2)

(Gauss System)

[0 ] = As/(Vm), [E] = V/m, [B] =Vs/m2 => [ 0 E x B] = AVs2/m4
AVs ist eine Energie (Watt), d.h. 

c (0 E x B ) ist eine Energiedichte





E
: Vektor der elektrischen Feldstärke

B: Vektor der magnetischen Feldstärke

c: Betrag der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

Tik , i,k = 1,2,3, Maxwellscher Spannungstensor,

p ist eine Impulsdichte (da c*p eine Energiedichte ist),

 00 sind Konstante,

S0 c2(E x B) ist der Poyntingvektor

Die Energiedichte hat jetzt die Form 
(1/8) * (E2 + B2), E = |E|, B = |B|
S = (c/4) (E x B) ist der 
Poyntingvektor, er beschreibt eine 
Energiestromdichte

Energie - Impuls - Tensor der Hydrodynamik

 Tik= ( + P/c2)uiuk - Pgik

i,k = 0,...,3
setzt voraus: eine ideale Flüssigkeit

isotroper Druck im Ruhesystem eines 
jeden Teilchens

Quelle: Fliessbach, ART

ui : Vierergeschwindigkeit, i = 0,...,3

P : Druck, 
Massendichte = Energiedichte/c2

gik : metrischer Tensor der SRT, 

i,k = 0,...,3
c : Betrag der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

Im Ruhesystem eines Teilchens ist

v = 0,  = 1 => ui = (c,0,0,0) 

Im Falle der flachen Metrik reduziert sich der Energieimpulstensor dann auf die im folgenden  angegebene Gestalt.



Nimmt man zusätzlich an, dass im Ruhesystem der Druck P verschwindet,
so reduziert sich Tik zu T00*c2, das ist die Energiedichte, alle anderen 
Komponenten sind 0

In der Kosmologie ist die Bedingung ui = (c,0,0,0) für sogenannte

mitbewegte Koordinaten

erfüllt.

Mitbewegte Koordinaten sind zeitlich konstant

Räumliche Entfernungen können sich mit der Zeit ändern (vgl. Robertson Walker Metrik)

Man betrachte z.B. eine sich aufblasende Kugel, deren Punkte auf der Oberfläche durch Winkelkoordinaten bestimmt sind

Feldstärketensor der Elektrodynamik

Die Darstellung des Feldstärketensors erfolgt in

 cgs Einheiten

(Gauß-System) (vgl. z.B. Fliessbach).

 

Dies ist die kontravariante Darstellung des Feldstärketensors.

Mit Hilfe des Feldstärketensors 
lassen sich Maxwellgleichungen
ausdrücken,

Im folgenden wird das für die erste Maxwellgleichung gezeigt: $\text{div E} = 4 \pi \rho $

 , nehmen die Werte 0,1,2,3 an

Darstellung einer Maxwellgleichung mit dem Feldstärketensor

Darstellung des Feldstärketensors in SI-Einheiten

Feldstärketensor kontravariant SI-Einheiten

Referenz: Wikipedia, Artikel Elektromagnetischer Feldstärketensor.

Dies ist die kontravariante Darstellung des Feldstärketensors.
Für die kovariante Darstellung müssen die Indizes nach unten gezogen werden.

Feldstärketensor kovariant SI-Einheiten


Das Herunterziehen der Indizes geschieht über den Metrischen Tensor $g_{\mu \nu}$ der speziellen Relativitätstheorie.
$F^{\alpha \beta} g_{\alpha \mu}=F_{\mu}^{\beta}$

Herunterziehen des Index $\alpha$ und ersetzen durch den Index $\mu$.

$F_{\mu}^{\beta} g_{\beta \nu} = F_{\mu \nu}$

Herunterziehen des Index $\beta$ und ersetzen durch den Index $\nu$.

Eine Beispielrechung für das Herunterziehen der Indizes


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