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Inhaltsverzeichnis

Inhalte F - P


Folgerungen aus den Einsteinschen Feldgleichungen

Als Folgerungen aus den Einsteinschen Feldgleichungen 



können die Friedmann-Lemaitre-Gleichungen berechnet werden.

Sie ergeben sich unter vereinfachenden Annahmen über das Universum:

(1) das Universum ist homogen und isotrop 

(2) es wird durch die Robertson Walker Metrik beschrieben

(3) der Energie-Impuls-Tensor



beschreibt eine ideale Flüssigkeit
und nimmt daher folgende Form an:

In diesem Modell werden Galaxien als Partikel einer idealen Flüssigkeit betrachtet

(4) Der Druck P wird vernachlässigt


Friedmann-Lemaitre-Gleichungen

Bewegungsgleichungen des kosmischen Hintergrundes

 

Sie sind Bewegungsgleichungen für die Expansion (Kontraktion) des Universums,
genauer, des kosmischen Hintergrundes. 

Der kosmische Hintergrund beschreibt die Struktur des Universums im Großen.
Im Großen erscheint es homogen und isotrop.

Dazu gibt es Theorien zur Beschreibung der Bewegung von Materiekonzentrationen,
z.B. von Galaxienhaufen oder Superhaufen.

Die Abkopplung dieser Bewegungen von der Hintergrundexpansion
wird zur Erklärung der kosmischen Strukturbildung  verwendet.

Gravitation

Die Gravitation ist ein Phänomen, das zwischen Massen auftritt.
Sie bewirkt, dass sich zwei Massen gegenseitig anziehen.

Eine Erklärung für die Gravitation wird durch die Allgemeine Relativitätstheorie geliefert.

Das Gravitationsgesetz beschreibt die Gravitationskraft zwischen zwei Massen.

Es erklärt die Bewegung der Planeten um die Sonne (Keplersche Gesetze)

Die Gravitationskraft führt zur Strukturbildung des Kosmos
(Galaxien, Haufen von Galaxien)


Gravitationsfeld

Ein Gravitationsfeld wird durch eine Masse erzeugt.
Man spricht in diesem Zusammenhang von schwerer Masse.

Beschleunigt man eine Masse, so hat man ihre Trägheit zu überwinden.
Man spricht von träger Masse.

Nach Einstein sind träge und schwere Masse äquivalent.


Hamiltonfunktion

Die Hamiltonfunktion beschreibt unter bestimmten Bedingungen die Energie eines Systems. 

H := piqi´ - L L ist die Lagrangefunktion des Systems.



qi´ ist die zeitliche Ableitung von qi

Hamiltonoperator

Der Hamiltonoperator H geht in die Beschreibung der Schrödingergleichung ein.

 

Er wird in diesem Zusammenhang auch als Energieoperator bezeichnet.

Hamiltonsche Gleichungen

Die HG (Hamiltonsche Gleichungen)

ermöglichen die Kanonische Quantisierung.



HG als Differentialgleichung

{qi,H} = qi' , {pi,H} = pi'

Beschreibung der HG mit Poissonklammern

qi sind verallgemeinerte Koordinaten, pi

die kanonisch konjugierten Impulse. 

H := piqi´ - L  


Heisenbergsche Bewegungsgleichungen

Die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen folgen aus den Hamiltonschen Gleichungen
der klassischen Mechanik durch kanonische Quantisierung
 
Ersetzungsvorschrift



[,]  sind Kommutatorklammern

h = *2 ,

h ist die Plancksche Konstante

H ist der Hamiltonoperator,

 pi der Impulsoperator, qi der Ortsoperator

Kontravariante und kovariante Vektoren

Vektoren, die mit oberen Indizes versehen wurden, sind in der Regel kontravariante Vektoren

Beispiel: kontravarianter Vierervektor

Vektoren, die mit unteren Indizes versehen wurden, sind in der Regel kovariante Vektoren.

Beispiel: kovarianter Vierervektor

kovariante und kontravariante Vektoren in der linearen Algebra

Kontravariante und kovariante Vektoren entsprechen in der linearen Algebra den Vektoren und den hierzu dualen Vektoren (Linearformen).


Kosmische Strukturbildung

Infolge lokaler Dichteschwankungen im Universum können sich Massenkonzentrationen bilden,
deren Bewegung sich von der kosmischen Hintergrundexpansion abkoppelt.

Solche Massenansammlungen können zur Strukturbildung im Universum beitragen
(Haufen von Galaxien, Superhaufen)

Metrik

Mit Hilfe einer Metrik werden Abstände beschrieben
(zur Definitionen einer Metrik vgl.den Link in der Kopfzeile).

Ein Hilfsmittel für die Abstandsberechnung ist der metrische Tensor.

Metrischer Tensor der speziellen Relativitätstheorie (SRT

Hierdurch wird die sog. flache Metrik der SRT beschrieben.

Allerdings gibt es unterschiedliche Darstellungen des metrischen Tensors,
da manche Autoren die Metrik anders definieren.

i,k = 0,...,3

Hierbei gilt gik = gik. Für diesen speziellen Tensor wird "oft" die Bezeichnung

 


verwendet.

Die Indizes i,j,k,... werden von manchen Autoren für Darstellungen
der Allgemeinen Relativitätstheorie reserviert,

die Indizes

  

für Darstellungen der Speziellen Relativitätstheorie.

Die metrischen Tensoren der SRT unterscheiden sich in der Wahl des Vorzeichens der Einsen in der Diagonalmatrix.

 Die angegebenen Form wird von der Mehrzahl der Wissenschaftler akzeptiert (z.B. Fliessbach, Straumann).

Abweichende Darstellungen hat man z.B. bei Stephanie, Wheeler.

Metrischer Tensor der Allgemeinen Relativitätstheorie

Er ist ortsabhängig und symmetrisch: 



vgl. auch die Erläuterungen 01





Hierbei muss man zwischen oberen und unteren Indizes unterscheiden.

Erläuterungen

Verwendet man die Transformationsgleichung  für den Übergang von allgemeinen Koordinaten x der Allgemeinen Relativitätstheorie
zu Minkowski-Koordinaten  der Speziellen Relativitätstheorie, so ergibt sich folgendes:

Eine größere Darstellung des Bildes


Newtonsche Mechanik und Keplersche Gesetze

Beschreibung der Planetenbewegungen mit Hilfe der Keplerschen Gesetze,
abgeleitet aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz.

1. Keplersches Gesetz:
Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht 

2. Keplersches Gesetz:
der Flächensatz

3. Keplersches Gesetz:
Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten stehen im gleichen Verhältnis zueinander
wie die dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen


Parsec

Ein Parsec ist die Entfernung, bei der der Erdbahnradius unter einem Winkel von einer Bogensekunde erscheint

parsec = Parallaxensekunde

1'' = 1 Bogensekunde
1'' = 1/3600 ° (deg) Grad


Physikalische Konstante


Planck Einheiten

Die Planck-Einheiten ergeben sich aus einer einfachen Dimensionsbetrachtung, 
d. h. einer Suche nach einem mathematischen Ausdruck
von der Dimension einer

Länge
, Zeit bzw. Masse,

der nur Produkte und Quotienten von geeigneten Potenzen von G, c und enthält.

nach Wikipedia, die freie Enzyklopädie,
Artikel: Planck-Einheiten


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