Hilbertraum 01

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Der Hilbertraum ist ein linearer Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen mit Skalarprodukt. Ein Vektorraum mit Skalarprodukt wird auch als Innenproduktraum bezeichnet (siehe Artikel in Wikipedia über den Hilbert-Raum). Das Skalarprodukt induziert eine Norm ||.|| und damit eine Metrik. Ein Hilbertraum ist vollständig hinsichtlich der induzierten Metrik, d.h. jede hiermit beschriebene Cauchy-Folge konvergiert gegen ein Element des Hilbertraumes.

Der in der Quantenmechanik verwendete Hilbertraum H hat unendliche Dimension und er ist separabel, d.h. es gibt eine abzählbare Folge (|fn>) von Vektoren in H die dicht in H liegt:

für jedes > 0 und jeden |f> aus H gibt es ein Element der Folge |fn>, so dass || |f> - |fn> || < .


Definition: ein metrischer Raum heißt separabel, wenn in ihm eine abzählbar dichte Teilmenge existiert.

Im folgenden wird der Hilbertraum der Quantenmechanik betrachtet.

Die Elemente des Hilbertraumes schreibt man in der Form |a>, |b>, |c> ... |f>,|g>,|h>...,
komplexe Zahlen in der Form .
Die Elemente des Hilbertraumes heißen Vektoren, sie werden auch als Zustandsvektoren bezeichnet.

Entsprechend der Vektorraumaxiome (vgl. Link zu linearer Vektorraum) gilt für den Hilbertraum:


Die Vektoren bilden hinsichtlich der Addition eine kommutative Gruppe

(1) |a> + |b> = |b> + |a>   (Kommutativgesetz für die Addition von Vektoren)
(2) |a> + (|b> + |c>) = (|a> + |b|) + |c>   (Assoziativgesetz für die Addition von Vektoren)
(3) |a> + |0> = |a>   (es gibt ein neutrales Element |0> bzgl. der Addition von Vektoren, den Nullvektor)
(4) |a> + |-a> = |0>   (zu jedem Vektor |a> gibt es einen Vektor |-a>, so dass deren Summe den Nullvektor ergibt)


Für die Multiplikation von Vektoren mit komplexen Zahlen gelten folgende Axiome
(die Malpunkte zwischen den komplexen Zahlen bzw. zwischen Zahl und Vektor werden weggelassen)

(5) (|a> + |b>) =|a> + |b>
(6) ()|a> = |a> + |a>
(7) |a> = (|a>)
(8) 1|a> = |a>   (1 ist die kompexe Zahl 1)


Das Skalarprodukt zwischen den Vektoren |a> und |b> wird in der Form <a|b> geschrieben.

<a| ist in dieser Schreibweise der duale Vektor zu |a>, d.h. <a| ist eine lineare Abbildung, die den Vektor |a> auf eine komplexe Zahl <a|b> abbildet.

Aus der Linearität von <a|, angewandt auf die Vektoren |b>, |c>  kann man auf die Gültigkeit der Axiome für ein Skalarprodukt schließen:


Axiome des Skalarproduktes

(9) <a|b + c> = <a|b> + <a|c>
(10) <a|b> = <a|b>

Weiter ist definiert:

(10) <a|b> = <b|a>*   (<b|a>* ist die konjugiert komplexe Zahl zu <a|b>)

Hieraus folgert man: <a|b> = (<b|a>)* = *<b|a>* = *<a|b>  (* ist die konjugiert komplexe Zahl zu )


Insbesondere folgt hieraus <a|a> ist reell, <a|a> = | |a> |2 (das Betragsquadrat des Vektors |a>)

Diese Eigenschaft ermöglicht die Definition einer Norm:

(11) || |a> || = (<a|a>)1/2


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