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Quantentheorie

Inhaltsverzeichnis

Einführung in die Quantentheorie, kanonische Quantisierung


Übersichtstabelle

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Einführung:
Hilbertraum, Observable, Zustandsvektor, Eigenfunktionen von Ort und Impuls
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01:
Poisson-Klammern, Kommutator Klammern, Heisenbergsche Bewegungsgleichungen

01a:
Reihenentwicklungen, Eigenwertgleichungen
01b:
Hermitesche Operatoren, Orthonormalsysteme
01c:
Zustandsvektoren im Hilbertraum, Vergleich mit Wellenfunktionen, kontinuierliches Spektrum
01d:
Prinzip der kleinsten Wirkung
02:
Lagrangesche Bewegungsgleichungen, Variationsrechnung
03:
Legendre Transformation, Hamilton-Gleichungen, Noether-Theorem, kanonisch konjugierte Transformationen
04:
Axiome der Quantenmechanik

Allgemeines

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Die Quantentheorie beschreibt Quantisierungsverfahren für Teilchen und Felder
(vgl. z.B. J.D. Bjorken, S.D. Drell, Relativistische Quantenfeldtheorie).

Was ist nun darunter zu verstehen?

Eine Möglichkeit der Quantisierung ist die  kanonische Quantisierung:

Man verwendet spezifische Verfahren zur Beschreibung von Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik (den  sogenannten kanonischen Formalismus) und ersetzt die darin vorkommenden physikalischen Größen durch quantenmechanische Operatoren, die in einem unendlich dimensionalen Hilbertraum operieren (vgl. auch)


Nach einer Vorlesungsmitschrift von Prof. Wess, LMU München, Wintersemester 1993/94
(mit kursiv geschriebenen eigenen Ergänzungen und Interpretationen)


Axiomatische Darstellung der Quantentheorie

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Der nachfolgende Text entstammt einer Vorlesungsmitschrift. 

Die kursiv geschriebenen Teile wurden von mir eingefügt.
Im Anschluß werden von mir zu den einzelnen Punkten Erläuterungen angegeben.


(1) Einem physikalischen System (Kristall, Elektron, Universum ...) entspricht ein Vektor in einem Hilbertraum 
   
     $\Psi(\underline{x},t)$ ist das Symbol für eine komplexwerte Funktion von vier reellen Variablen;
     hierdurch kann eine Wellenfunktion
beschrieben sein;
     der Vektor x besteht aus drei Ortskoordinaten, t ist der Parameter für die Zeit
    
     $|\Psi>$ ist das Symbol für den $\Psi(\underline{x},t)$ entsprechenden Zustandsvektor

(2) Den  Observablen (Impuls, Energie ...) entsprechen (wesentlich) selbstadjungierte (hermitesche) lineare Operatoren im Hilbertraum. Diese Operatoren haben reelle Eigenwerte. Ihre  Eigenvektoren bilden eine Basis des Hilbertraumes. Bei jeder genauen Messung wird  ein Eigenwert des Operators gemessen. Unmittelbar nach der Messung befindet  sich  das System in dem entsprechenden Eigenzustand.

(3) Die Wahrscheinlichkeit, in einem Zustand $| \Psi>$ einen Eigenwert $a$ eines Operators $A$ zu finden,
ist gegeben durch $|c_a|^2$, wenn $<\Psi|\Psi>$ = 1 und $|\Psi>=\sum c_a|a>$

$A|a>=a|a>$; $|a>$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $a$ des Operators $A$.

Verschiedene Eigenvektoren eines Operators sind orthogonal zueinander.

$|a>$ und $|b>$ seien verschiedene Eigenvektoren eines Operators.

$<b|a>=\delta_{ab}$;  die Schreibweise besagt, dass die Vektoren $|b>$ und $|a>$ orthogonal zueinander sind.

$\delta_{ab} = 0$, falls $a \ne b$, $\delta_{ab} = 1$ falls $a=b$.

$|\Psi>=\sum c_a|a>$ beschreibt die Entwicklung des Zustandvektors $| \Psi>$ nach orthogonalen Eigenvektoren eines Operators.

$<q|q'>=\delta(q-q')$; $q$ bezeichnet verallgemeinerte Koordinaten.

$\delta$ bezeichnet die Diracsche Deltafunktion.

(4) Die zeitliche Entwicklung gehorcht der Schrödinger-Gleichung:
$i \hbar \frac{\partial}{\partial t}|\Psi>=H|\Psi>$



Referenzen und Erläuterungen

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(zu 4) Hier findet man Informationen über die Schrödingergleichung, angelehnt an die Darstellung von Wellenfunktionen, mit Übergang zu Operatoren.


Lineare Algebra

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(zu 1) Die lineare Algebra wird hier behandelt, eine Darstellung nach einer Vorlesung an der LMU München. Sie beinhaltet Informationen über Vektoren, Eigenwerte, Vektorräume, Skalarprodukte, adjungierte und selbstadjungierte Operatoren, hermitesche Operatoren, reelle und komplexe Vektorräume, Basis eines Vektorraumes.


Operatoren im Hilbertraum

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(zu 2) Die selbstadjungierten Operatoren heißen hermitesch in komplexen Vektorräumen, d.h, wenn der Sklarenkörper die Menge der komplexen Zahlen ist. Man findet Erklärungen für die verwendeten Begriffe über den Link im vorangehenden Absatz, indem man den "Index" anwählt. Observable sind physikalische Größen, die man beobachten kann.
In der Quantenmechanik arbeitet man mit dem Hilbertraum, dies ist ein komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt.
(Link s.o.)

(zu 3) es wird über alle Vektoren |a> summiert, die eine Basis des Hilbertraumes bilden.


Orthonormalsystem

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Die Bedingung <b|a> = ab (3) besagt, dass die Vektoren |a> ein Orthonormalsystem bilden, d.h. es ist <a|b> = 0, wenn sich
|a> und |b> unterscheiden und <a|a> = 1.

Die Vektoren |a> sind Eigenvektoren eines hermiteschen Operators A, durch den eine Observable beschrieben wird.
Zu jeder Observablen A bilden die Vektoren |a> eine Basis des Hilbertraumes.


Wahrscheinlichkeitsinterpretation

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|ca|2 (3) beschreibt nach den oben angegebenen Ausführungen eine Wahrscheinlichkeit. Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand |a> angenommen werden kann. Der Zustand |> setzt sich also aus Zuständen zusammen, die mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit angenommen werden können. Dem entspricht die Erkenntnis, dass die Aussage über den Zustand eines quantenmechanischen Systems mit Unsicherheiten behaftet ist. Sicherheit erhält man erst durch eine Messung, aber man weiß nicht genau, welches Meßergebnis man erhalten wird. Zu jeder Observablen (ein bestimmter hermitescher Operator) gibt es eine solche Wahrscheinlichkeitszerlegung.

Die zu messenden Größen a sind Eigenwerte eines hermiteschen Operators A. Insbesondere impliziert die Wahl hermitescher Operatoren, dass die Eigenwerte reell sind (sonst könnte man sie nicht messen). Eigenwerte eines Operators A genügen der Gleichung A|a> = a|a>.

Falls der Eigenwert zum Zustand |a> gemessen wurde, geht das System unmittelbar danach in diesen Zustand über, d.h. die Wahrscheinlichkeit |ca|2 wird zu 1 und alle anderen Wahrscheinlichkeiten ergeben 0.

Die Bedingung <| > = 1 (3) bedeutet, das der Zustandsvektor | > normiert wurde. Insbesondere setzt dies voraus, dass er normiert werden kann. Im Falle der Normierbarkeit erhält man ein diskretes Spektrum von Eigenwerten der gerade betrachteten Observablen, z.B. das diskrete Spektrum von Energiewerten beim Wasserstoffatom, oder das diskrete Spektrum bei Anwendung des Drehimpulsoperators.

Daneben gibt es auch kontinuierliche Spektren, z.B. das Energiespektrum eines freien Teilchens (ein solches Teilchen kann jeden beliebigen Energiewert annehmen). Die entsprechenden Zustandsvektoren sind nicht normierbar (vgl.)


Skalarprodukt

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<| > (3) bezeichnet ein Skalarprodukt.


Man könnte das Skalarprodukt auch in der Form (|>,| >) oder  < |>,| > > schreiben, als inneres Produkt des Vektors 
|> mit sich selbst, in Anlehnung an die Begriffsbildungen der linearen Algebra. Die Schreibweise <| bezeichnet den dualen Vektor zu |> . Hierfür findet man in der linearen Algebra auch den Begriff Linearform. Wenn |> ein Element eines Vektorraumes V bezeichnet, dann ist < | ein Element des Dualraumes V*, also eine Linearform, die angewandt auf 
den Vektor |> eine reelle oder komplexe Zahl ergibt. Die Schreibweise hierfür ist <| >.

Verallgemeinerte Koordinaten

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Durch q (3) werden sogenannte verallgemeinerte Koordinaten beschrieben. q ist i.A. (im Allgemeinen) eine vektorielle Größe. Spezielle Koordinaten werden durch den Ortsvektor x angegeben. Der Ausdruck <q|q'> bezeichnet das Skalarprodukt der Koordinaten q und q'(q - q') die Diracsche Deltafunktion.

Die Ortseigenfunktion

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Man fasst x als Ortsoperator auf, mit der Eigenwertgleichung x|x'> = x'|x'>
x ist in dieser Darstellung ein Operator, |x'> ein Zustandsvektor (der Zustandsvektor des Ortes)
x' eine reelle Zahl, die messbare Größe des Ortes

Der Ortsoperator x hat ein kontinuierliches Spektrum von Eigenwerten, d.h. jeder mögliche Ortswert kann angenommen werden.

Als Normierungsbedingung für die Zustandsvektoren definiert man <x'|x''> = (x - x'), mit der dreidimensionalen Delta-Funktion.

Ortseigenfunktion heißt, es muss gelten:  . Eine Diskussion hierzu findet man auf der folgenden Seite.

Der in den weiter oben angegebenen Axiomen beschriebene Zustandsvektor |q> ist eine Verallgemeinerung des Ortszustandes.


Die Impulseigenfunktion

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Man fasst p als Impulsoperator auf, mit der Eigenwertgleichungp|p'> = p'|p'>
p ist in dieser Darstellung ein Operator, |p'> ein Zustandsvektor (der Zustandsvektor des Impulses),
p' eine reelle Zahl, die messbare Größe des Impulses

Der Impulsoperator p hat ein kontinuierliches Spektrum von Eigenwerten, d.h. jeder mögliche Impulswert kann angenommen werden.

Als Normierungsbedingung für die Zustandsvektoren definiert man <p'|p''> = (p - p')

Für die Impulseigenfunktionen werden folgende Darstellungen angegeben: 






vgl auch die folgende Seite

Der * bezeichnet die konjugiert komplexe Funktion.

Man findet diese Darstellung in vielen Lehrbüchern und Veröffentlichungen zur Physik.

 

Probleme mit der angegebenen Darstellung

Darstellung für Mobilgeräte

Darstellung für den PC

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Um die dreidimensionale Darstellung zu verdeutlichen, wurden x und p mit einem oberen Pfeil versehen. |p'>,| p''> symbolisieren nur eine unterschiedliche Wahl der Impulsvektoren. Bei der Integration wird über den ganzen Raum integriert und die dreidimensionale Delta-Funktion verwendet.
 
Eine Begründung für die angegebene Darstellung der Impulseigenfunktion ergibt sich daraus, dass p  in der Form

geschrieben werden kann

Anwendung des Differentialoperators auf die Impulseigenfunktion liefert dann gerade die Eigenwertgleichung für den Impulsoperator:

Eine größere Darstellung des Bildes

Eine Motivation für diese Form der Begriffsbildung findet man auf der folgenden Seite über Wellenfunktionen.
Man kann die Operatordarstellung für den Impuls aber auch anders begründen, indem man bestimmte Eigenschaften der Delta-Funktion verwendet. Diese Rechnungen werden später durchgeführt.

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