Quantentheorie 03a

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Beispiele zum Noether Theorem


Einige Überlegungen zum Noether Theorem

An Hand eines Beispieles versuche ich das Theorem zu verdeutlichen.

Ich beziehe mich auf folgende Webseite
http://www.itp.uni-bremen.de/~noack/noether.pdf

Auf Seite 2 wird folgendes ausgesagt


Eine größere Darstellung des Bildes

Man betrachte die Lagrangefunktion in der Form L(x, x´, t) = (1/2)*m*x´2 - V(x,t) mit V(x,t) =0.
Sie beschreibt die Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie.

In dem angegebenen Beispiel ist die Lagrangefunktion nicht explizit von der Koordinate x abhängig.
Da das Potential verschwindet, wird die Bewegung eines freien Teilchens betrachtet.

Die folgenden Überlegungen werden auf den eindimensionalen Fall reduziert (Koordinaten x, x')

Die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen lauten dann

   mit xi´ = x´, xi = x

L ist nicht explizit von x abhängig, d.h. es gilt



und hieraus folgert man



Die zuletzt angebene Gleichung beschreibt den kanonisch konjugierten Impuls.

Für das angegebene Beispiel besagt die Gleichung: die zeitliche Ableitung des Impulses ist 0. Daraus folgt: der Impuls ist zeitlich konstant.

Anders formuliert: der Impuls ist eine Erhaltungsgröße.

Damit hat man folgendes gezeigt

aus (1): L ist invariant gegenüber (infinitesimalen) Translationen in der Koordinate x.
folgt (2): der Impuls ist eine Erhaltungsgröße

Das Noethersche Theorem wird in der Wikipedia folgendermaßen formuliert:

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße.

Wikipedia: "Dabei ist eine Symmetrie eine Transformation (zum Beispiel eine Drehung oder Verschiebung), die das Verhalten des physikalischen Systems nicht ändert."
(Artikel Noether-Theorem, Oktober 2010)

Ein weiteres Beispiel:
Auf den vorangehenden Seiten wurde ausgesagt, dass die Gesamtenergie eines Systems eine Erhaltungsgröße ist, wenn die Lagrange-Funktion nicht explizit zeitabhängig ist.
(Link über <<Home>>).

Die von mir zitierte Webseite formuliert das Theorem in einer sehr allgemeinen Form.

Ein weiterer Link:
http://www.spektrum.de/lexikon/physik/noether-theorem/10403

Zitat: Aus der Invarianz gegenüber Eichtransformationen ... folgt die Ladungserhaltung.

Link: Weitere Informationen über Emmy Noether.