Übungen Lineare Algebra 02

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Eine Aufgabe zur Schulmathematik: Bestimmung der Schnittmenge zweier Ebenen.


Gegenseitige Lage zweier Ebenen

Zwei Ebenen können parallel sein, identisch sein, nicht identisch sein aber (mindestens) einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

Gegeben seien zwei Ebenengleichungen:
E1: 3x1 + 4x2 + 6x3 -12 = 0
E2: 2x1 + 4x2 + x3 - 4 = 0
Aufgabe: 
Man bestimme die Schnittmenge der beiden Ebenen.
Wenn die Schnittmenge nicht leer ist, fallen die beiden Ebenen zusammen oder ihre Schnittmenge ist eine Gerade.
Eine Gerade ist durch zwei Punkte bestimmt. Kann man daher für die beiden Ebenen zwei verschiedene gemeinsame Punkte berechnen, so läßt sich hierüber die Gleichung der Schnittgeraden bestimmen.
Die Normalenvektoren der beiden Ebenen sind



Die Ebenen sind identisch oder parallel, wenn die beiden Normalenvektoren parallel sind. Andernfalls schneiden sich die beiden Ebenen. Über das Skalarprodukt der Normalenvektoren kann man den Schnittwinkel der beiden Ebenen bestimmen.

In diesem Beispiel sind die Normalenvektoren nicht parallel.

Bestimmung eines gemeinsamen Punktes der beiden Ebenen

Man hat nur zwei Gleichungen für die drei Unbekannten x1, x2, x3,
d.h. eine der Unbekannten ist frei wählbar. Setzt man x2 = 0 , so erhält man:

(1) 3x1 + 6x3 -12 = 0
(2) 2x1 + x3 - 4 = 0

Die Gleichung  x2 = 0 beschreibt die x1 - x3 - Ebene (die Wahl von Werten für  x1 und  x3 ist beliebig).
Durch (1) und (2) werden zwei "Spurgeraden" beschrieben, das sind die Schnittpunkte der Ebenen E1 bzw. E2
mit der x1 - x3 - Ebene.

Der Begriff Spurgerade war mir bisher nicht geläufig.
Er wurde in gymnasialen Übungseinheiten in Bayern verwendet.

Anschaulich betrachtet müssen sich die Spurgeraden schneiden, wenn sich die Ebenen schneiden.

Um zu einer Lösung zu kommen, muss eine der Unbekannten durch die andere ausgedrückt werden,
aus (2) erhält man: x3 = 4 - 2x1
Eingesetzt in (1) ergibt sich: 3x1 + 6(4 - 2x1) - 12 = 0
=> 3x1 + 24 - 12x1 - 12 = 0 => -9x1 + 12 = 0 => x1 = 12/9 = 4/3,  x1 = 4/3
Nun kann man x3 bestimmen: aus (2) folgt: 2 * (4/3) + x3 - 4 = 0 => (8/3) - (12/3) = -x3 =>x3 = 4/3

Als gemeinsamen Schnittpunkt der beiden Ebenen erhält man: A(4/3, 0, 4/3)

Das ist nicht der einzige gemeinsame Schnittpunkt, aber der einzige für den zusätzlich  x2 = 0 gilt.


Eine größere Darstellung des Bildes



Bestimmung eines weiteren gemeinsamen Schnittpunkt der beiden Ebenen

Dazu bestimmt man die Spurgeraden der beiden Ebenen mit der x2 - x3 - Ebene,
d.h. in den beiden Ebenengleichungen wird x1 = 0 gesetzt.
(1´) 4x2 + 6x3 -12 = 0
(2´) 4x2 + x3 - 4 = 0

Aus (1') folgt 4x2 = 12 - 6x3  =>  x2 = 3 - (6/4)x3 = 3 - (3/2)x3 , x2 = 3 - (3/2)x3
Eingesetzt in (2´) ergibt sich: 4 * (3 - (3/2)x3) + x3 - 4 = 0  =>  12 - 6x3 + x3 - 4 = 0
=> 8 - 5x3 = 0 => x3 = 8/5
=> x2 = 3 - (3/2) * (8/5) = 3 - 24/10 =  3 - 12/5 = 15/5 - 12/5 = 3/5, x2 = 3/5

Als gemeinsamen Schnittpunkt der beiden Ebenen erhält man: B(0, 3/5, 8/5)

Bestimmung der Schnittgeraden

A und B sind gemeinsame Punkte der beiden Ebenen, um die zugehörige Geradengleichung zu bestimmen, gibt man die Ortsvektoren zu den Punkten an: A sei der Ortsvektor zu A, 
B der Ortsvektor zu B, die Geradengleichung S (für die Schnittgerade) lautet dann 

S : X = A* (B - A)

Eine größere Darstellung des Bildes


Ein alternatives Verfahren

Bestimmung eines gemeinsamen Punkt der beiden Ebenen

E1: 3x1 + 4x2 + 6x3 -12 = 0
E2: 2x1 + 4x2 + x3 - 4 = 0

Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt x1 + 5x3 - 8 = 0.
Da nur 2 Gleichungen für die 3 Unbekannten vorliegen, kann man eine Unbekannte frei wählen. Setzt man nun x3 = 0 so folgt x1= 8.

Aus der zweiten Gleichung erhält man mit diesen Werten 16 + 4x2 -4 = 0;  12 + 4x2 = 0;  x2 = -3

Ein gemeinsamer Punkt der beiden Ebenen ist somit der Punkt P(8,-3,0).

Den Richtungsvektor der Geraden kann man über das Kreuzprodukt der Normalenvektoren bestimmen.

Kreuzprodukt zweier Vektoren



Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren der beiden Ebene ergibt sich zu:



Als Gleichung der Schnittgeraden ergibt sich



Frage: Warum ist das Kreuzprodukt der beiden Normalenvektor ein Richtungsvektor der Geraden?

Antwort: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist orthogonal zu den beiden Vektoren. Das Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren ist somit orthogonal zu den Normalenvektoren beider Ebenen. Dann kann es aber nur in beiden Ebenen liegen. Die Schnittmenge beider Ebenen ist aber gerade die gesuchte Gerade.

Bemerkung: zu einem Punkt P(x,y,z) läßt sich ein Ortsvektor



bestimmen. Anschaulich betrachtet ist dies ein Vektor, dessen Spitze auf den Punkt P(x,y,z) zeigt und der im Ursprung des Koordinatensystems verankert ist.
In diesem Sinne werden in den Darstellungen auf dieser Seite Punkte und Vektoren unterschieden.

Als Koordinatensystem wird ein 3-dimensionales kartesisches Koordinatensystem betrachtet. Die Achsenbezeichnungen sind x,y,z oder x1, x2, x3.


Die folgenden zwei Ebenen sind parallel, d.h. sie haben keinen Punkt gemeinsam:

E1 : 3x1 + 4x2 + 6x3 - 12 = 0
E2:  3x1 + 4x2 + 6x3 - 6 = 0

Man erkennt dies daran, dass die beiden Normalenvektoren identisch und damit parallel sind, die beiden Ebenen aber nicht zusammenfallen.


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