Übungen Lineare Algebra 03

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Bestimmung der Normalform einer Ebenengleichung:
$n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-k = 0$

Parameterdarstellung
$\vec{x}=\vec{a}+\lambda \vec{u} + \nu \vec{v}$

und Hessesche Normalform der Ebenengleichung:
$(\vec{x}-\vec{a})\cdot \vec{n}=0$


Parameter­darstellung der Ebenen­gleichung

Die nachfolgende Abbildung zeigt eine Parameterdarstellung der Ebene.

Eine größere Darstellung des Bildes


Bestimmung des Normalenvektors

Die Ebene wird durch die Vektoren u und v aufgespannt. u und v liegen in der Ebene, der Normalenvektor n der Ebene ist senkrecht (orthogonal) zu u und v. Der Endpunkt des Vektors a heisst Aufpunkt der Ebene.

Den Normalenvektor der Ebene bestimmt man über das Skalarprodukt des Vektors n mit den Vektoren u und v
(es muss Null ergeben, da n orthogonal zu u und v ist).

Eine größere Darstellung des Bildes


Normalform der Ebene

In der folgenden Abbildung entspricht $\vec{X}$ dem bisher bereits verwendeten Vektor $\vec{x}$.

Die Normalform der Ebene berechnet sich aus der Gleichung

Eine größere Darstellung des Bildes

Eine größere Darstellung des Bildes


Hessesche Normalform

Die Darstellung $(\vec{x}-\vec{a})\cdot \vec{n}=0$ heißt Hessesche Normalform der Ebenengleichung.

Hieraus ergibt sich $\vec{x}\cdot \vec{n}=k$ mit $k=\vec{a}\cdot \vec{n}$

Aus der Darstellung $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2 \\x_3 \end {array}\right)$ folgt $n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=k$

$\vec{a}$ zeigt auf einen Aufpunkt der Ebene; $\vec{x}$ zeigt auf einen beliebigen Punkt der Ebene; $\vec{n}$ ist der Normalenvektor der Ebene.

Die Darstellung $n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=k$ wird auch als Normalform der Ebenengleichung bezeichnet.

Meistens liegt sie in der Form $ax_1+bx_2+cx_3=k$, mit rellen Zahlen a,b,c und k, vor. Aus dieser Darstellung ersieht man unmittelbar den Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene; $\vec{n}=\left(\begin{array}{c} a\\ b \\c \end {array}\right)$
Für das angegebene Beispiel gilt $k=\vec{a}\cdot \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2\\ 5 \\1 \end {array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1\\ 3 \\-5 \end {array}\right) = 12$

und $n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=k$ wird zu $x_1 + 3x_2 -5x_3 = 12$ bzw. $x_1+3x_2-5x_3-12=0$.


Wahl eines anderen Aufpunktes

Aus der Ebenengleichung $E:x_1+3x_2-5x_3=12$ läßt sich z.B. der Aufpunkt $a_2=(0,4,0)$ herleiten (durch Einsetzen). $a_2$ ist ein Punkt der Ebene.

Für den Vektor $\vec{a_2}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 4 \\0 \end {array}\right)$ erhält man wieder $\vec{a_2} \cdot \vec{n} = 12$.

Übergänge zwischen den verschiedenen Darstellungen einer Ebene

Die Darstellung einer Ebene in der Form

$n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-k = 0$ wird als parameterfreie Darstellung bezeichnet.

Der nachfolgende Link referenziert eine Seite in Mediawiki 1.20.2.
Dort wird gezeigt, wie aus der parameterfreien Darstellung einer Ebene die Parameterdarstellung bestimmt werden kann,
und wie man aus der Parameterdarstellung die parameterfreie Darstellung gewinnen kann.

Übergänge
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