Analytische Geometrie der Ebene

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Thema: Analytische Geometrie der Ebene

Links: Klassifizierung 01; Analytische Geometrie

English Part: Analytic Geometry of the Plane


Inhaltsverzeichnis

Parameterfreie Darstellung der Ebenengleichung

Eine Darstellung einer Ebene in der Form $ax_1+bx_2+cx_3=k$ heißt parameterfreie Darstellung der Ebene.

$a,b,c,k$ sind reelle Zahlen.

Aus dieser Darstellung läßt sich der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene bestimmen:

$\vec{n}=\left ( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right )$.

Dieser Vektor ist ungleich dem Nullvektor, d.h. mindestens eine der Komponenten $a,b,c$ ist von Null verschieden.

Dividiert man den Vektor \(\vec{n}\) durch seinen Betrag, so erhält man einen Vektor der Länge 1, der senkrecht auf der Ebene steht. Einen solchen Vektor bezeichnet man als Normaleneinheitsvektor der Ebene.

Sei $\vec{x}=\left ( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right )$.

Aus der Ebenengleichung folgt für das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{x}$:

$\vec{n} \cdot \vec{x} = k$ für jeden Ortsvektor $\vec{x}$, der auf einen Punkt $(x_1,x_2,x_3)$ der Ebene zeigt.

Beispiel

Gegeben sei die Ebene \(E: 2x+2y-z=2\)

Aus der Ebenengleichung schließt man:

Der Vektor \(\left ( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right )\) steht senkrecht auf der Ebene, er ist orthogonal zur Ebene.

Es ist der Normalenvektor der Ebene.

Für das Beispiel gilt: $\displaystyle \vec{n_E}=\frac{\vec{n}}{|n|}=\frac{1}{3}\cdot \left ( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right )$ ist der Normaleneinheitsvektor zu dem Normalenvektor $\left ( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right )$.

Einen festen Punkt der Ebene erhält man z.B. durch die Bedingung $y= 0, z= 0$.

Aus \(2x+2y-z=2\) folgt dann \(2x= 2; x=1\)

Es folgt $\vec{P}=\left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right )$ ist der Ortsvektor eines Punktes der Ebene.

Es folgt $\vec{P} \cdot \vec{n}=2$.

Parameterdarstellung der Ebene

Eine Parameterdarstellung einer Ebene ist eine Darstellung der Form $\vec{x}=\vec{A}+u\cdot\vec{B}+v\cdot\vec{C}$ mit beliebigen reellen Zahlen u,v. $\vec{A}$ ist der Aufpunkt der Ebene, die Vektoren $\vec{B}$ und $\vec{C}$ spannen die Ebene auf.

Damit eine zweidimensionale Ebene dargestellt wird, müssen die Vektoren $\vec{B}$ und $\vec{C}$ linear unabhängig sein.

Eine Darstellung der Ebene in Vektorform sieht dann folgendermaßen aus\[\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array}\right) + u \cdot \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array}\right) + v \cdot \left(\begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array}\right)\]

Normalform der Ebenengleichung

Bestimmung der Hesseschen Normalform

Sei \(\vec{p}\) der Ortsvektor eines fest gewählten Punktes einer Ebene, \(\vec{x}\) der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene.

Dann ist \(\vec{x}-\vec{p}\) ein Vektor, der ganz in der Ebene liegt. Für diesen Vektor gilt, dass das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene den Wert 0 ergibt.

\((\vec{x}-\vec{p}) \cdot \vec{n}=0\)

Man bezeichnet diese Gleichung als die Hessesche Normalform der Ebenengleichung.

Vergl. auch Darstellungen einer Ebene


Die Gleichung \((\vec{x}-\vec{p}) \cdot \vec{n}=0\) lautet für das vorangehende Beispiel

$\left(\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right)$ $\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) = 0$

Eine Übungsaufgabe zur Darstellung einer Ebene

[1]

Übergänge zwischen den verschiedenen Darstellungen einer Ebene

Es wird gezeigt, wie aus der Parameterdarstellung einer Ebene die parameterfreie Darstellung gewonnen werden kann und umgekehrt, wie man aus der parameterfreien Darstellung eine Parameterdarstellung erhält.

Darstellungen einer Ebene

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