Extremwerte mit Nebenbedingungen

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Thema: Extremwerte mit Nebenbedingungen

Link: Mathematik

Der zweidimensionale Fall

Gegeben sei eine Funktion $f(x,y)$ mit der Nebenbedingung $g(x,y)=0$.

Zur Bestimmung der Extremwerte bildet man die Funktion

\(L(x,y)=f(x,y)+\lambda g(x,y)\).

L heißt Lagrangefunktion.

Kandidaten für Extremwerte bestimmt man aus der Bedingung

\(\text{grad } L(x,y,\lambda)=(0,0,0)\).

grad ist der Gradient der Funktion

\(L(x,y,\lambda)\).

Man berechnet den Gradienten auf folgende Weise\[ \text{grad } L(x,y,\lambda)=\left(\frac{\partial L}{\partial x},\frac{\partial L}{\partial y},\frac{\partial L}{\partial \lambda}\right)=(L_x,L_y,L_{\lambda})\]

Eine Nebenbedingung kann z.B. sein, dass die Funktion $f(x,y)$ nur auf einem Kreis mit Radius $r$ betrachtet wird.

Diese Nebenbedingung lässt sich in der Form \(g(x,y)=x^2+y^2-r^2;g(x,y)=0\) ausdrücken.

Das nachfolgend verlinkte File enthält ein Beispiel für eine Extremwertaufgabe mit einer Nebenbedingung.

Aber bevor ich den Leser auf ein pdf File verweise, stelle ich die wichtigsten Inhalte des Beispiels sicherheitshalber einmal zusammen.

Beispiel 01 Extremwerte mit Nebenbedingungen

[1]

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