Mehrdimensionale Extremwertberechnung

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Thema: Mehrdimensionale Extremwertberechung

Link: Mathematik

Inhaltsverzeichnis

Grundlegendes zur mehrdimensionalen Extremwertberechnung

Motivation

Sei $f$ eine Funktion, die reelle Zahlen auf reelle Zahlen abbildet. $f$ sei mindestens zweimal differenzierbar.

Die Bedingungen der eindimensionalen Analysis zur Bestimmung von Extremwerten lauten für die Funktion $f$ an der Stelle $x$:

\(f'(x)=0.\) Dies ist eine notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes an der Stelle x.
\(f''(x) \ne 0.\) Dies ist eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes an der Stelle x, falls die notwendige Bedingung erfüllt ist.

Die Entscheidung, ob ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum vorliegt, wird bei Vorliegen eines Extremwertes folgendermaßen getroffen:

falls \(f''(x)>0\) ist, liegt an der Stelle $x$ ein lokales Minimium vor; falls \(f''(x) < 0\) ist, liegt an der Stelle $x$ ein lokales Maximum vor.

Verallgemeinerung auf Funktionen, die aus dem \(R^n\) in die reellen Zahlen abbilden

Solche Funktionen haben als Argumente n-Tupel reeller Zahlen\[f(x_1,...,x_n)\]

Notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes

Die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extremwerte an der Stelle \((x_1,...,x_n)\) ist \(\text{grad }(f(x_1,...,x_n)) = 0.\)

\(\text{grad }(f(x_1,...,x_n))\) ist der Gradient der Funktion $f$ an der Stelle \((x_1,...,x_n).\)

Dies bedeutet, dass jede der Richtungsableitungen $\displaystyle \frac{\partial f}{x_k}$ an der Stelle \((x_1,...,x_n)\) den Wert Null annimmt.

Hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes

Zur Formulierung einer hinreichende Bedingung für das Vorliegen von Extremwerten wird der Begriff der Hessematrix benötigt. Die Elemente der Hessematrix sind 2-fache partielle Ableitungen der Funktion $f$ nach den Komponenten \(x_k\)

Die Hessematrix

$\left( \begin{array}{ccc} f_{{x_1}{x_1}} & \text{...} &f_{{x_1}{x_n}} \\ \text{...} & \text{...} & \text{...} \\ f_{{x_n}{x_1}} & \text{...} & f_{{x_n}{x_n}} \end{array} \right)$


Dabei gilt $f_{{x_i}{x_k}}=\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_k}$

Die Hessematrix ist eine Verallgemeinerung der zweiten Ableitung einer Funktion, die reelle Zahlen auf reelle Zahlen abbildet, auf Funktionen, die n-Tupel $(x_1,...,x_n)$ reeller Zahlen auf reelle Zahlen abbilden.

Um Entscheidungen über Extremwerte fällen zu können, wird die Definitheit der Hessematrix untersucht.

Definitheit einer Matrix

Die Definitheit einer Matrix wird in dem nachfolgend verlinkten File erklärt.

Definitheit von Matrizen 01

Weitere Referenzen:

Definitheit von Matrizen 02

Lokales Maximum

Ein lokales Maximum liegt an der Stelle \((x_1,...,x_n)\) vor, falls die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes gegeben ist und die Hessematrix an der betrachteten Stelle negativ definit ist.

Lokales Minimum

Ein lokales Minimum liegt an der Stelle \((x_1,...,x_n)\) vor, falls die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes gegeben ist und die Hessematrix an der betrachteten Stelle positiv definit ist.

Überblick über die mehrdimensionale Extremwertberechnung

Das nachfolgend verlinkte File vermittelt einen Überblick über die mehrdimensionale Extremwertberechnung.

[1]

Die Funktion $f(x,y)=x^4+y^4$

Diese Funktion hat an der Stelle $(x,y)=(0,0)$ ein lokales Minimum, denn es gilt $f(0,0)=0$ und $f(x,y) > 0$ falls $(x,y) \ne (0,0)$ ist.

Die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes an der Stelle $(x,y)=(0,0)$ ist erfüllt.

Die Hessematrix ist an der Stelle $(x,y)=(0,0)$ weder positiv noch negativ definit.

Es liegt ein Extremwert vor, obwohl die oben angegebene hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist.

Die Determinante der Hessematrix nimmt dort den Wert 0 an. Die Hauptminoren haben den Wert 0 für $(x,y)=(0,0)$.

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