Unendliche Folgen

Aus Mediawiki 1.20.2
Wechseln zu: Navigation, Suche

Thema: Unendliche Folgen

Link: Klassifizierung 02

Inhaltsverzeichnis

Definition einer Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge ist eine Abbildung aus der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb N$ in die Menge der reellen Zahlen $\mathbb R$.

Man schreibt die Glieder einer Folge in der Form $a_n$

die Folge selber als $\{a_n\}$

Beispiel:

(1) die Abbildung $a: \mathbb N \rightarrow \mathbb R$ mit $a:n \rightarrow 2^n$ definiert eine Zahlenfolge, es gilt $a_n=2^n$

$a_1=2; a_2=4; a_3=8; ...$

Konvergenz einer Zahlenfolge

Definition:

Die Folge ${a_n}$ konvergiert gegen eine reelle Zahl $a$ genau dann, wenn es für jedes $\epsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N$ gibt, so dass gilt: $|a_n-a| < \epsilon$ für alle n > N.

In dieser Definition hängt $N$ von $\epsilon$ ab.

Ein Beispiel zur Definition

Man betrachte die Folge $a_n=\displaystyle \frac{1}{n}$

Diese Folge konvergiert gegen die reelle Zahl $0$.

Sei $\epsilon = \displaystyle \frac{1}{1000}$

dann gilt $|a_n-0| = \displaystyle \frac{1}{n} < \epsilon$ für alle $n > 1000$.

Zu $\epsilon = \displaystyle \frac{1}{1000}$ ist also $N = 1000$ eine passende natürliche Zahl.

Einige bekannte Grenzwerte von Zahlenfolgen

(1) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$

(2) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$

(3) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$

(3a) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=e^a$ für eine beliebige reelle Zahl $a$

(4) Die rekursiv definierte Folge $x_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)$ mit $x_1=1$ konvergiert gegen $\sqrt{2}$

Es gilt $x_1=1; x_2=\displaystyle \frac{3}{2}; ...$

(5) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$ falls $a$ eine positive reelle Zahl ist.

(6) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!}=\infty$

Beispiel einer nicht konvergenten Zahlenfolge

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{2+(-1)^n}$ existiert nicht.

Begründung

für jede natürliche Zahl N gibt es eine gerade natürliche Zahl 2n > N, so dass

\(2+(-1)^{2n} =3\text{ und }2+(-1)^{2n+1}=1 \text{ gilt. }\)

2n ist eine gerade natürliche Zahl, 2n + 1 ist eine ungerade natürliche Zahl.

Für n gegen Unendlich existiert damit kein eindeutig bestimmbarer Grenzwert.

Ein weiteres Beispiel für Konvergenz

$\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\displaystyle \frac{n+2}{2n+3}}= \frac{1}{2}$

Begründung für die Konvergenz gegen 1/2

$\displaystyle \frac{n+2}{2n+3}=\frac{n}{n}\left(\frac{1+\frac{2}{n}}{2+\frac{3}{n}}\right)=\frac{1+\frac{2}{n}}{2+\frac{3}{n}}$

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{2}{n}}= 0$

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{3}{n}}= 0$

Meine Werkzeuge
Namensräume

Varianten
Aktionen
Navigation
Werkzeuge