Unendliche Reihen

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Thema: Unendliche Reihen

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Inhaltsverzeichnis

Definition einer unendlichen Reihe

Eine unendliche Reihe ist formal eine Darstellung der Form $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$

mit reellen Zahlen $a_k$.

Es gilt: $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = a_1 + a_2 + a_3 + ... $

Da man nicht alle Folgenglieder einer unendlichen Reihe aufschreiben kann, werden zur Abkürzung der noch fehlenden Glieder die drei Punkte verwendet.

Die unendliche Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ ist folgendermaßen definiert: $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k = \displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n$

mit $s_n=\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n a_k$

Für jede natürliche Zahl $n$ bezeichnet $s_n$ eine Partialsumme der unendlichen Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$.

Es gilt: $s_1=a_1; s_2=a_1+a_2; s_3=a_1+a_2+a_3; ...$

Der Wert der unendlichen Reihe ist als Grenzwert der Folge ihrer Partialsummen $\{s_n\}$ definiert.

Um die Konvergenz einer unendlichen Reihe entscheiden zu können, gibt es eine Reihe von Kriterien

Das Majorantenkriterium

Gegeben seien die unendlichen Reihen $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$ und $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$.

Die Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$ sei konvergent.

Das Majorantenkriterium

Falls es eine natürliche Zahl $N$ gibt, so dass $|a_n| \le b_n$ gilt für alle $n > N$, dann konvergiert die Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$

Aus der Konvergenz der Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$ folgt mit diesem Kriterium die Konvergenz der Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$

Das Wurzelkriterium

Gegeben sei die unendliche Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k$

Die Reihe konvergiert, falls eine nicht negative reelle Zahl $r$ existiert für die gilt: $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = r $ und es ist $r<1$.

Darüberhinaus konvergiert die Reihe der Absolutbeträge $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|a_k|$.

Man sagt, die Reihe ist absolut konvergent.

Die Reihe divergiert, falls $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = r $ und $r>1$ ist.

Für $r=1$ ist mit dem Wurzelkriterium keine Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz möglich.

Es gibt allgemeinere Formulierungen des Wurzelkriteriums, für die meisten Anwendungen in der Praxis z.B. einer Fachhochschule ist diese Form meiner Erfahrung nach allerdings ausreichend.

Beispiel

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}$

Es gilt: $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{(2^n)^{\frac{1}{n}}}=\frac{1}{2}$

Das Wurzelkriterium besagt, dass die Reihe absolut konvergiert.

Da die Reihenglieder alle positiv sind, ist hier die Unterscheidung nach Konvergenz und absoluter Konvergenz überflüssig.

Alternierende harmonische Reihe und harmonische Reihe

Man betrachte die Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{k}$

Es handelt sich um eine alternierende Reihe.

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...$

Das Wurzelkriterium liefert in diesem Fall $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1$

d.h. es ist keine Entscheidung über Konvergenz oder Divergenz möglich.

Man weiß aber, dass $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k \frac{1}{k}$ konvergiert und $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ divergiert.

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ ist die sogenannte harmonische Reihe.

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...$

Das Quotientenkriterium

Gegeben sei die Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$

Für die Folge $\{a_n\}$ wird vorausgesetzt, dass eine natürliche Zahl $N$ existiert, so dass $|a_n| \ne 0$ für alle $n > N$ gilt.

Falls unter diesen Voraussetzungen $\displaystyle \lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1$ gilt, so konvergiert die Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$.

Es gilt allgemeinere Formulierungen des Quotientenkriteriums. Für die meistens Fälle in der Praxis z.B. einer Fachhochschule ist diese Form der Darstellung nach meiner Erfahrung ausreichend.

Beispiel

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^k$

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^n}}=\frac{1}{2}$

Aus dem Quotientenkriterium folgt die Konvergenz der Reihe.

Das Leibnizkriterium

Das Leibnizkriterium ist ein Konvergenzkriterium für alternierende Reihen.

Gegeben sei die Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k a_k$

Das Leibnizkriterium besagt:

Falls $\{a_k\}$ eine monoton fallende Nullfolge reeller Zahlen ist, so konvergiert die Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k a_k$

$\{a_k\}$ ist eine monoton fallende Nullfolge, falls sie monoton fällt und $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0$ gilt.

Beispiel

Die alternierende harmonische Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{k}$ erfüllt das Leibnizkriterium.

Man darf hier mit dem Index nicht bei $k = 0$ beginnen, da für $k = 0$ der Term $\displaystyle \frac{1}{k}$ nicht definiert ist.

Geometrische Reihe

Die Reihe $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k$ konvergiert gegen $\displaystyle \frac{1}{1-q}$ falls $|q|<1$ gilt.

Beispiel

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^k = 2$

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^k = 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ ...$

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