Lineare Abbildungen

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Thema: Lineare Abbildungen

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Letzter Besuch: 06.08.2017

Lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen sind im Allgemeinen für Vektorräume definiert. Vektorräume werden in der Linearen Algebra behandelt.

Definition einer linearen Abbildung zwischen den Elementen eines Vektorraumes

Seien $\vec{x},\vec{y}$ Elemente eines Vektorraumes $V$ über der Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$; $\lambda \in \mathbb{R}$.

Eine Abbildung $f:V \rightarrow V$ heißt linear, falls folgendes gilt:

(1) $f(\vec{x}+\vec{y})=$ $f(\vec{x})+f(\vec{y})$

(2) $f(\lambda \vec{x})=$ $\lambda f(\vec{x})$

Spezielle lineare Abbildungen

Definition einer linearen Abbildung von $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$

Seien $x,y,\lambda \in \mathbb{R}$.

Eine Abbildung $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ist linear, falls folgendes gilt:

(1) $f(x+y)=$ $f(x)+f(y)$

(2) $f(\lambda x)=$ $\lambda f(x)$

Beispiel

$f(x)=2x$ ist eine lineare Abbildung.

Gegenbeispiel

$f(x)=x^2$ ist keine lineare Abbildung

Matrix-Vektor-Beziehungen

Lineare Abbildungen können durch Matrix-Vektor-Beziehungen beschrieben werden.

Sei V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum, x ein Vektor aus V und A eine nxn-Matrix mit reellen Koeffizienten.

Dann gilt:

$A(x+y)=Ax+Ay$


$A(\lambda x)=\lambda Ax$


Das sind genau die Forderungen für eine lineare Abbildung.

Fasst man die Matrix A als eine Abbildung auf, die einen Vektor x auf einen Vektor y abbildet, so wird durch A eine lineare Abbildung beschrieben.

Abbildung der Null

Für eine lineare Abbildung gilt

$f(0+0)=$ $f(0)+f(0)$.

Andererseits ist

$f(0+0)=f(0)$.

Hieraus folgt

$f(0)+f(0)=$ $f(0)$.

Diese Gleichung ist nur erfüllt,

wenn $f(0)=0$ gilt.

Keine lineare Abbildung

Keine lineare Abbildung ist

$f(x)=3x+3$

Beweis:

$f(x+y)=$ $3(x+y)+3=$ $3x+3y+3$


$f(x)+f(y)=$ $3x+3+3y+3=$ $3x+3y+6$

d.h.

$f(x+y)≠f(x)+f(y)$.

Damit kann f keine lineare Abbildung sein.

Für diese Abbildung gilt insbesondere

$f(0)≠0$.

Es gilt allgemein

$f(x)=ax+b$ ist keine lineare Abbildung, falls a,b reelle Zahlen sind mit $b≠0$.

Hierfür ist auch die Bezeichnung affine Abbildung gebräuchlich.