Bewegungsgleichungen in der ART

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Koordinatentransformationen

Ausgangspunkt für alle weiteren Berechnungen ist die Überlegung, dass ein Gravitationsfeld lokal wegtransformiert werden kann (vgl. hierzu auch die einführende Seite über Allgemeine Relativitätstheorie).

Als Beispiel betrachte man einen frei fallenden Fahrstuhl. Für die Personen im Innern des Fahrstuhls ist das Gravitationsfeld scheinbar verschwunden, sie empfinden sich als schwerelos.

Ähnliche Beobachtungen wird man machen, wenn man sich in einem frei fallenden Flugzeug befindet.

Das "lokale Wegtransformieren" eines Gravitationsfeldes bewirkt, dass die Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie gelten. Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie wird die Gravitation nicht behandelt.


Die Bedeutung des Begriffes "lokal" ist etwas unscharf. Gemeint ist eine "hinreichend kleine Umgebung eines Punktes".

Der frei fallende Fahrstuhl beansprucht Raum und das Gravitationsfeld der Erde ist näherungsweise kugelförmig, so dass es in einem Fahrstuhl räumlicher Ausdehnung nie völlig verschwinden kann.

Dies ist bei der Größe des Fahrstuhls im Vergleich zur Inhomogenität des Gravitationsfeldes aber vernachlässigbar.

Der Fahrstuhl erfüllt in seiner Größe die Bedingungen der Lokalität, für ihn kann das Gravitationsfeld wegtransformiert werden (indem man ihn frei fallen läßt).

Man verwendet oft den Begriff  "endliche Ausdehnung" für reale Objekte, während lokale Objekte "infinitesimal klein" sein können, z.B. trifft diese Annahme für "Massenpunkte" zu. Für diese kann dann das Gravitationsfeld ohne begriffliche Schwierigkeiten wegtransformiert werden.

Die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegungen betrachten die Planeten und die Sonne z.B. als punktförmige Massen, da die räumliche Ausdehnung im Vergleich zu den Entfernungen vernachlässigbar ist.

Ein mikroskopisches Objekt, von dem man die räumliche Ausdehnung nicht kennt, ist z.B. das Elektron. Dennoch gibt es mit der Vorstellung des Elektrons als Massenpunkt Schwierigkeiten.

Nach der Einsteinschen Theorie wäre es als Punktmasse ein schwarzes Loch, wie kann es dann aber elektromagnetische Strahlung aussenden?

Nehmen wir einmal an, ein punktförmiges Teilchen wäre räumlich exakt lokalisierbar, dies ergibt nach der Unschärferelation der Quantenmechanik einen unendlich großen Impuls. Da die Geschwindigkeit immer unterhalb der Lichtgeschwindigkeit bleiben sollte (nach der Einsteinschen Theorie), wäre seine Masse unendlich groß. Das ist offensichtlich unsinnig.

Experimentell erscheint das Elektron innerhalb von Atomen "räumlich verschmiert", wodurch beispielsweise die endliche Ausdehnung von Atomen erklärbar wird. Mathematisch beschreibt man das Elektron durch eine Wellenfunktion. Die Orbitalmodelle der Chemie bzgl. der Elektronenhülle der Atome sind nichts anderes als stehende Elektronenwellen.


Die Bewegungsgleichungen für die Bahn eines Massenpunktes in einem beliebigen Gravitationsfeld erhält man nun folgendermaßen:

man nimmt an, dass das Feld lokal wegtransformiert werden kann. In diesem gravitationsfreien System beschreibt man die Bahn des Massenpunkts durch die Vektor-Gleichung .

In dieser vierdimensionalen Darstellung beschreibt die nullte Komponente die Zeit, so dass die Bahnkurve  Ort und Zeit der Bewegung beinhaltet (vgl. die Darstellung der Vierervektoren).

Die Größe   wird als Eigenzeit eines Beobachters im gravitationsfreien System gewählt, das ist die Zeit, die er mit seiner Uhr misst.
Der Massenpunkt bewegt sich in diesem Bezugssystem kräftefrei, d.h. es gilt die Gleichung  für die Komponenten des Vektors , der die Bewegung beschreibt (die nachfolgenden Abschnitte liefern Beispiele für diese Gleichung).

Für  ergibt sich hieraus als eine mögliche Lösung  = (c ,0,0,0) mit konstanten räumlichen Koordinaten (0,0,0).
In diesem Fall kann der Massenpunkt als Beobachter interpretiert werden, der seinen Standort nicht verändert, z.B. ein Passagier innerhalb eines frei fallenden Fahrstuhls, der stur an seinem Platz stehenbleibt, und seinen Standort mit den Koordinaten (0,0,0) beschreibt. Er befindet sich dann im Ursprung seines Koordinatensystems.

Er könnte aber auch innerhalb des Fahrstuhls einen Gegenstand anstoßen und dann sich selbst überlassen. Dieser würde sich innerhalb des Fahrstuhls geradlinig fortbewegen, da die Gravitationskraft im Fahrstuhl verschwunden ist.

Die Bewegungsgleichung dieses Gegenstandes könnte so aussehen:  + (c t0 , b1 , b2 , b3)

Zum Zeitpunkt = 0 (Beginn der Bewegung) wäre dann bereits die Zeit t0vergangen und der Gegenstand befindet sich am Ort (b1 , b2 , b3). Er bewegt sich in die durch + (b1 , b2 , b3) beschriebene Richtung.

Die Konstante c habe ich nur verwendet, da sie in vielen Darstellungen von Vierervektoren auftaucht, sie führt in der Regel nur zur gleichen Dimensionierung der Ortskoordinate und der Zeitkoordinaten.
Man kann sie für die Überlegungen dieses Abschnittes als c = 1 annehmen (in der Literatur wird oft mit c = 1 normiert).

Betrachtet man die Situation in einem Bezugssystem, in dem das Gravitationsfeld existiert (z.B. für einen Beobachter, der auf der Erdoberfläche steht), so führt der Massenpunkt für ihn eine Bewegung x(t) aus.

Der Parameter t beschreibe wieder die Eigenzeit des Beobachters, jetzt aber in dem System, wo das Gravitationsfeld existiert. Die nachfolgenden Überlegungen gelten nur für einen fest gewählten Punkt x = x(t), da die Transformationsgleichungen  <-> für jeden Punkt x anders aussehen können.

Für das Beispiel des frei fallenden Fahrstuhls sieht das Problem so aus:

Wir haben zwei verschiedene Systeme: einmal das Bezugssystem einer Person innerhalb des Fahrstuhls, für die das Gravitationsfeld verschwunden ist, und einmal das Bezugssystem eines Beobachters am Fuße der Turmes, in dessen Schacht der Fahrstuhl frei fällt.

Man kann mathematisch eine Transformation zwischen diesen Systemen in der Form durchführen.

Für das Bezugssystem des frei fallenden Fahrstuhls gilt die Gleichung der Speziellen Relativitätstheorie:

mit dem metrischen Tensor   (vgl. das einführende Kapitel über Metriken).

Verwendet man die Transformationsgleichung , so ergibt sich folgendes:

Eine größere Darstellung des Bildes

In diesen Gleichungen wurde die Einsteinsche Summationskonvention benutzt.

Der Ausdruck  ist der metrische Tensor für das Bezugssystem des Beobachters, für den das Gravitationsfeld existiert.

Man kann ihn auf Grund der oben angegebenen Gleichungen durch partielle Differentiation der Transformationen nach den Ortskoordinaten bestimmen.

Ein etwas besseres Beispiel als der Fahrstuhl bieten frei fallende Satellitenlabors, die um die Erde kreisen.

Man erkennt unmittelbar, wie sich die Lage benachbarter Labors auf Grund des angenähert kugelförmigen Gravitationsfeldes verändert, damit verändern sich auch die Transformationsgleichungen von Punkt zu Punkt.

Hierfür lassen sich die Tensoren  angeben


Beispiel 01: Gleichmäßig beschleunigtes Gravitationsfeld

Beispiel 02: Schwarzschildmetrik (kugelsymmetrisches Gravitationsfeld)

Beispiel 03: Robertson Walker Metrik (homogenes und isotropes Universum)