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Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 01

Inhaltsverzeichnis

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Diese Seite gibt eine kurze Einführung in die Begriffsbildungen der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Dabei strebe ich keine Vollständigkeit an, ich will nur zeigen, mit welchen Begriffen dort gearbeitet wird. Ich beziehe mich dabei auf das Buch von Straumann über Allgemeine Relativitätstheorie.

Zur Definition von Differentialformen vgl. die folgenden Seiten. Hier werden Begriffe erläutert, die für das Verständnis von Differentialformen wichtig sind.

Grundlegender Begriff ist eine  differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Für das Verständnis der Definition werden eine Reihe mathematischer Begriffe benötigt: Topologie, Hausdorff-Raum, Basis einer Topologie, Homöomorphismus, offene Umgebungen, Rn, Mannigfaltigkeit, differenzierbare Funktion, Differenzierbarkeit auf Mannigfaltigkeiten.

Definition topologischer Begriffe am Beispiel des R2

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In folgende werden einige elementare topologische Begriffe definiert, die für das Verständnis eines Homöomorphismus wichtig sind. Als Beispiel für einen topologischen Raum wird die Zahlenebene betrachtet.

Definition innerer Punkte des R2

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Ein "einfaches" Beispiel:

der R2 sei die Menge aller Punkte der Ebene.

Um jeden Punkt der Ebene läßt sich ein Kreis zeichnen, der vollständig in der Ebene liegt. Punkte mit dieser Eigenschaft heissen  innere Punkte, da diese Eigenschaft für alle Punkte des R2  gilt, sind alle Punkte des R2 innere Punkte des R2.

Um einen Kreis zu definieren, benötigt man die Angabe eines Radius r und eines Mittelpunktes m.

Definition eines Kreises im R2

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Ein Kreis ist definiert als die Menge aller Punkte, die von einem Punkt m einen Abstand kleiner oder gleich r haben (r sei eine positive relle Zahl).

m ist der Mittelpunkt des Kreises, r sein Radius.

Abstand und Metrik

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Die Definition eines Kreises ist nur verständlich, wenn man weiß, wie man Abstände zwischen Punkten misst.
Habe ich z.B. ein Blatt Papier vorliegen, so messe ich Abstände zwischen Punkten mit einem Lineal.
Um das ganze mathematisch zu erfassen, verwendet man ein sogenanntes Koordinatensystem, das zur Identifizierung von Punkten der Ebene dient. Abstände zwischen Punkten werden dann in diesen Koordinaten beschrieben.

Koordinatenebene
Das Quadrat des Abstandes zwischen den Punkten (x0) und (x1) ist definiert als d2 = (x1 - x0)2 + (y1 - y0)2

d wird als Metrik bezeichnet
Metrik in der Ebene.

Um Abstände zu definieren, wird also eine Metrik d benötigt. Man kann einen Kreis dann definieren als die Menge aller Punkte x, die einen Abstand  d(x,m) kleiner oder gleich r zu einem Mittelpunkt m haben (dabei sei r > 0 eine reelle Zahl).

Die Verwendung hochgestellter Indizes erscheint vielleicht etwas unüblich, ich habe sie gewählt, weil der "kontravariante Ortsvektor" in der Relativitätstheorie i.A. mit hochgestellten Indizes dargestellt wird.

Definition des Kreisrandes im R2

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Vom Kreis zu unterscheiden ist der Kreisrand, dieser ist definiert als die Menge aller Punkte, die vom Mittelpunkt m den Abstand r haben.


Die Definition eines Kreises wird so sicher nicht allgemein verwendet, manche Leute werden einen Kreis als die Menge der Punkte bezeichnen, die genau den Abstand r vom Mittelpunkt haben. Dann braucht man aber Begriffe wie Vollkreis um seinen Inhalt erfassen zu können, ich werde daher die oben angegebene Definition für einen Kreis verwenden.

Betrachtet man als Punktmenge z.B. eine Strecke, so sieht man, dass ihre Punkte keine inneren Punkte sind.

Damit ein Punkt innerer Punkt einer Strecke ist, wäre es erforderlich, dass sich um ihn ein Kreis zeichnen läßt, der ganz in der Strecke liegt. Jeder Kreis um einen Punkt der Strecke liegt aber zu einem Teil ausserhalb der Strecke.

Entsprechend kann man einsehen, dass alle Punkte des Kreisrandes keine inneren Punkte des Kreisrandes sein können.

Betrachtet man allerdings den Kreis ohne seinen Rand, so sieht man, dass alle Punkte des Kreises ohne Rand innere Punkte des Kreises ohne Rand sind. Das liegt daran, dass jeder Punkt des Kreises ohne Rand einen gewissen positiven Abstand zum Rand des Kreises hat. Damit läßt sich aber ein Kreis um diesen Punkt finden, der ganz innerhalb der Punktmenge Kreis ohne Rand liegt. Als Radius kann man z.B. 1/4 des Abstandes zum Rand nehmen.

Definition einer offenen Menge

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Eine Punktmenge, die lauter innere Punkte besitzt (wie z.B. die Ebene oder der Kreis ohne Rand) heisst offene Menge.

Dieser Begriff der offenen Menge findet sich in der Beschreibung topologischer Räume wieder.

Als Literaturreferenz zur Beschreibung eines topologischer Raumes verweise ich auf Endl/Luh Analysis III


Definition eines topologischen Raumes

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Sei X eine beliebige Menge und T ein System von Teilmengen von X (das ist eine Menge von Teilmengen von X)

X zusammen mit dem Mengensystem T heisst  topologischer Raum. Die Elemente von T heissen  offene Mengen.

Eine Umgebung eines Punktes ist dadurch gekennzeichnet, dass sie eine offene Menge um diesen Punkt enthält.

Insbesondere ist eine offene Menge Umgebung für alle Punkte, die sie enthält.


Beispiel:

Betrachten wir als Ebene ein unendlich ausgedehntes Blatt Papier (= Menge X). Als Mengensystem T kann man z.B. die Menge aller Kreise ohne Rand wählen, die einen Radius von 1 cm haben (um jeden Punkt dieser Ebene läßt sich ein Kreis mit Radius 1 cm zeichnen). Bildet man die Vereinigung von beliebig vielen dieser Kreise ohne Rand, so sollen sie zu diesem Mengensystem T dazugehören. Entsprechendes gilt für Durchschnitte endlich vieler dieser Kreise ohne Rand.

Mathematisch gesehen bekommt man Probleme, wenn man den Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen bildet, das Resultat enthält dann möglicherweise Punkte, die keine inneren Punkte mehr sind.


Basis einer Topologie

Eine Teilmenge B von T heißt Basis des topologischen Raumes X, wenn sich jede offene Menge aus T als Vereinigung von Elementen aus B darstellen lässt.

Die Menge B ist eine abzählbare Basis, wenn sie aus abzählbar vielen Mengen besteht.

Zusammenhang eines topologischen Raumes

Ein weiterer wichtiger Begriff ist der des  Zusammenhanges.

Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn man ihn nicht in zwei nicht leere disjunkte offene Mengen zerlegen kann.

Beispiele:

Bildet man die Vereinigung von zwei Kreisen, die sich nicht schneiden, so ist das Resultat eine nicht zusammenhängend Menge.

Zwei Kreise, die sich schneiden, bilden eine zusammenhängende Menge.

Bildlich gesprochen sind zwei Punktmengen in der Ebene  zusammenhängend, wenn man sie durch Zeichnung mit einem Bleistift verbinden kann, ohne dass die Bleistiftspitze angehoben werden muss.


Ist man mit dem Beispiel des "unendlich ausgedehnten" Blattes Papier nicht zufrieden, so kann man alternativ die Oberfläche einer Kugel betrachten, z.B. einen Globus mit einem Durchmesser von 1 m. Man nehme einen Zirkel und zeichne um einen Punkt der Oberfläche einen Kreisbogen. Dies ist offensichtlich für jeden Punkt der Oberfläche möglich. Der zugehörige Kreis hat eine gewölbte Innenfläche, was uns aber nicht weiter stört.

Man kann daher alle diese Punkte als innere Punkte der Oberfläche betrachten. Als Mengensystem T nimmt man z.B. die Menge aller Kreise mit einem "Radius" von 1 cm, dass dieser Radius jetzt eine gekrümmte Linie ist, soll uns nicht weiter stören. Die Oberfläche der Kugel zusammen mit diesem Mengensystem bildet einen topologischen Raum.

Zu beachten ist dabei, dass die Entfernungen auf der Kugeloberfläche anders gemessen werden als in der Ebene, d.h. den jeweiligen topologischen Räumen liegt eine andere Metrik zugrunde.

Weiß man, wie man Abstände auf der Oberfläche der Kugel mittels einer Metrik d misst, so kann man einen Kreis einfach definieren als die Menge aller Punkte der Oberfläche, die zu einem gegebenen Mittelpunkt m einen Abstand d(x,m) kleiner oder gleich einem gegebenen Radius r haben.

Der topologische Raum abstrahiert von dem Begriff der Metrik, indem er zur Definition nur noch abstrakte offene Mengen verwendet, ohne zu sagen, wodurch sie gebildet werden. Man kann z.B. auch die Metrik der speziellen Relativitätstheorie verwenden, um Kreise zu definieren. Weiß man, wie ein Kreis definiert ist, so kann man innere Punkte definieren und hierüber offene Mengen. Das ist in jedem metrischen Raum möglich. Interessiert man sich jetzt nur noch für die Eigenschaften der offenen Mengen, so geht man zur topologischen Betrachtung über.

In der Definition eines topologischen Raumes werden noch weitere Eigenschaften verwendet: Hausdorff-Raum (ein spezieller topologischer Raum), Basis der Topologie. Ich verwende diese Begriffe nur der Vollständigkeit halber.

Hausdorffraum

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Ein Hausdorffraum ist definiert als ein topologischer Raum, für den je zwei verschiedene Punkte Umgebungen besitzen, die sich nicht schneiden (vgl. G. Preuß, Allgemeine Topologie).

So kann man z.B. um zwei beliebige, aber verschiedene Punkte der Ebene, Kreise zeichnen, die sich nicht schneiden.

Die Ebene bildet zusammen mit der Topologie der offenen Kreisscheiben einen Hausdorffraum.
 
Eine offene Kreisscheibe ist im Sinne der oben angegebenen Kreisdefinition ein Kreis ohne Rand

Man kann zeigen, dass jede Punktmenge der Ebene durch abzählbar viele offene Kreisscheiben überdeckt werden kann. In diesem Sinne bilden die offenen Kreisscheiben eine  abzählbare Basis der Topologie der Ebene, die Ebene ist somit ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.

Man benötigt noch den Begriff eines Homöomorphismus.

Definition eines Homöomorphismus

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Ein Homöomorphismus ist eine Abbildung, die injektiv, surjektiv und stetig ist und deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

Ein lokaler Homöomorphismus ist dadurch gekennzeichnet, dass es um jeden Punkt eine Umgebung gibt, für die ein Homöomorphismus definiert ist.


Insbesondere sind Homöomorphismen nur definiert, wenn der Begriff der Stetigkeit definiert ist, und zwar sowohl für den "Bildraum" der Abbildung als auch für den "Urbildraum".

Zur Definition von injektiv, surjektiv verweise ich auf (Endl/Luh, Analysis I).

Man findet dort auch die Definition von stetigen Abbildungen von der Menge der reellen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen, sowie die Begriffe Bild einer Abbildung, Urbild einer Abbildung.

Auf einer Zahlengeraden, die man in der Regel zur Darstellung der reellen Zahlen verwendet, lassen sich keine Kreise zeichnen, diese Aufgabe übernehmen die offenen Intervalle.

Offene Mengen auf der Zahlengeraden sind alle endlichen oder unendlichen Vereinigungen offener Intervalle, sowie der Durchschnitt endlich vieler offener Intervalle. Aus der Definition der Stetigkeit einer Abbildung ergibt sich die nachfolgende Eigenschaft: das Urbild einer offenen Menge ist offen.

Für Abbildungen zwischen topologischen Räumen wird folgende Definition für die Stetigkeit angegeben.

Definition einer stetigen Abbildung

Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen ist stetig, wenn das Urbild einer offenen Menge offen ist.

Definition einer offenen Umgebung

Eine offene Umgebung um einen Punkt p enthält eine offene Menge um diesen Punkt p.

Eine spezielle Eigenschaft einer homöomorphen Abbildung

Eine homöomorphe Abbildung bildet offene Mengen auf offene Mengen ab.


Damit läßt sich nun eine topologische Mannigfaltigkeit definieren (nach Straumann, Allgemeine Relativitätstheorie)

n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit

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Eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit M ist ein topologischer Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis der Topologie, der lokal homöomorph zum Rn ist. Die letzte Bedingung bedeutet, dass es zu jedem Punkt p aus M eine offene Umgebung U von p und einen Homöomorphismus h : U -> U' mit einer offenen Menge U' aus Rn gibt.

Bemerkung:

Die angegebenen Homöomorphismen sind von der Wahl der jeweiligen Umgebung abhängig, für verschiedene Umgebungen können verschiedene Abbildungsvorschriften vorliegen.

Der Rn  ist eine Verallgemeinerung des R2  (der Ebene) auf beliebige Dimensionen, der R3 bezeichnet z.B. den dreidimensionale Raum, der R4  könnte den vierdimensionalen Raum der speziellen Relativitätstheorie bezeichnen.



Man betrachte als Beispiel eine gekrümmte Fläche im Raum, die man in einer Ebene darstellen möchte, z.B. die Erdoberfläche. Das geht nur "stückweise", d.h. man wählt für verschieden Punkte der Erdoberfläche kleine Umgebungen, die man in der Ebene darstellen kann. Ein Homöomorphismus (z.B. eine Projektion) ist die formale Beschreibung dieser Arbeit. Man muss dabei darauf achten, dass die Projektionen der verschiedenen Umgebungen richtig zusammenpassen, wenn sich die Umgebungen schneiden.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie hat man es mit einem gekrümmten vierdimensionalen Raum zu tun

Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit

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Vierdimensional: 3 Raumdimensionen, eine Zeitdimension, man bezeichnet dieses Gebilde auch als Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit.

Für jeden Punkt der gekrümmten Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit der Allgemeinen Relativitätstheorie läßt sich ein vierdimensionaler flacher Tangentialraum definieren (die Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit der Speziellen Relativitätstheorie). Die Homöomorphismen, die man betrachtet, projizieren Umgebungen aus der gekrümmten Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit auf diese Tangentialräume.

In den Tangentialräumen kann man dann in der gewohnten Weise linear rechnen. Ein besonderes Problem besteht noch darin, die verschiedenen Tangentialräume in Beziehung zueinander zu setzen (man betrachte als Beispiel verschiedene Tangentialebenen an Punkte der Kugeloberfläche).

Die Abbildung aus der gekrümmten Mannigfaltigkeit in den flachen Tangentialraum kann man z.B. hautnah erleben, wenn man sich in einem Fahrstuhl befindet, der plötzlich frei fällt.  Das Gravitationsfeld ist für die Passagiere des Fahrstuhls verschwunden.


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