Einsteinsche Feldgleichungen

Home-Mobil   Home-PC

Vergleich mit der Newtonschen Grundgleichung

Newtonsche Grundgleichung

F ist die wirkende Kraft
a die erzielte Beschleunigung
m die träge Masse

Die träge Masse hat zunächst nichts mit der Gravitationswirkung der schweren Masse zu tun  Man kann aber zeigen, dass schwere und träge Masse äquivalent sind. 


Beschreibung der Einsteinschen Feldgleichungen

Einsteinsche Feldgleichungen




G ist die Gravitationskonstante,
c ist die Lichtgeschwindigkeit, R beschreibt die Krümmung der Raumzeit (Ricci-Tensor)
g beschreibt die Metrik der 4- dimensionalen Raumzeit (metrischer Tensor),
T beschreibt den Energiegehalt der Raumzeit (Energie - Impuls - Tensor)

Die Größen R, T und g 
beschreiben Tensoren, die
Indizes geben Komponenten der Tensoren an. 

   heißt Einstein-Tensor 

nicht zu verwechseln mit der Gravitationskonstante G

Bedeutung der Indizierungen

 

über unten und oben vorkommende gleiche Indizes wird summiert, mit dem metrischen Tensor g können Indizes "hochgezogen" werden

T ist die Quelle des Gravitationsfeldes

R ohne Indizes ist aus R mit
Indizes abgeleitet (Riemannscher Krümmungsskalar

 

Summation von  = 1 bis 4


Die Feldgleichungen etwas umgeschrieben

vgl. Fliessbach Kapitel 27

und die folgende Seite

 

Summation von  = 1 bis 4


Weitere Berechnungsformeln


Interpretation der Einsteinschen Feldgleichungen

Nach der Einsteinschen Theorie bewirkt eine Masse eine Krümmung der Raumzeit (d.h. sowohl des Raumes als auch der Zeit), diese Krümmung macht sich in unserer dreidimensionalen Erfahrenswelt als Gravitation bemerkbar.

Die Masse findet sich in der Formulierung der Einsteinschen Feldgleichungen nicht explizit wieder, sie wird u.A. durch den Energie - Impuls - Tensor erfaßt. Dabei ist zu berücksichtigen, dass Masse und Energie in der Einsteinschen Theorie äquivalent sind,  jede Form der Energie induziert schwere Masse (diese bewirkt Gravitation). Der Energie - Impuls - Tensor beinhaltet neben der Energiedichte (Energie pro Raumvolumen) weitere Energieformen (z.B. den Druck, den ein Strahlungsfeld ausüben kann).

Bei der Entstehung eines schwarzen Loches kann es passieren, dass der Druck, der eigentlich ein Kollabieren verhindern will, so stark wird, dass er selbst zur gravitativen Energie beiträgt. Was soll aber dann noch ein Kollabieren (z.B. eines Neutronensterns) verhindern?

Die Ursache für eine Krümmung der Raumzeit, ausgedrückt durch R,  ist ihr Energiegehalt (ausgedrückt durch T). Die Metrik g beschreibt, wie sich z.B. Lichtstrahlen in dieser gekrümmten Raumzeit bewegen.
 
Man erkennt in der Struktur der Gleichungen, dass eine Zunahme der Krümmung R einen höheren Energiegehalt T bewirkt, dieser bewirkt wiederum eine stärkere Krümmung. In diesem Sinne sind die Gleichungen nicht linear, eine Zunahme der Krümmung kann z.B. auf Grund kosmischer Bewegungen erfolgen (Kollabieren von Galaxienhaufen). Ein solches Kollabieren endet nicht zwangsläufig in einem schwarzen Loch, zur Beschreibung des finalen Zustandes wird der Virialsatz verwendet.

In der Kosmologie betrachtet man die Galaxien als Partikel einer idealen Flüssigkeit und verwendet den entsprechenden Energie - Impuls - Tensor der Hydrodynamik. Unter bestimmten Annahmen über Symmetrieeigenschaften des Universums (z.B. Isotropie und Homogenität der Massenverteilung)  lassen sich dann Lösungen der Feldgleichungen angeben, die die Dynamik des Universums beschreiben.

Auch die Metrik eines homogenen isotropen Universums ist bekannt: die Robertson Walker Metrik.

Beschreibungen des Energie Impuls Tensors findet man auf der folgenden Seite.

Folgerungen aus den Einsteinschen Feldgleichungen

Aus den Einsteinschen Feldgleichungen können
die Friedmann-Lemaitre-Gleichungen gefolgert werden.

Die dabei getroffenen Annahmen über das Universum werden
auf der folgenden Seite beschrieben:
Folgerungen aus den Einsteinschen Feldgleichungen

Insbesondere wird der Energie-Impuls-Tensor
der Hydrodynamik für eine homogene und isotrope Flüssigkeit vorausgesetzt.

Die kosmologische Konstante wird bei den Berechnungen nicht benutzt.

Unter den Annahmen zur Berechnung der
Friedmann-Lemaitre-Gleichungen reduziert sich der
Energie-Impuls-Tensor auf die eine nicht verschwindende Komponente
T00. Die zugrundeliegende Metrik ist die Roberson-Walker-Metrik.

Zur Berechnung der Komponenten R00 und R11 des Ricci-Tensors
werden die Christoffel-Symbole benötigt.

Die Christoffelsymbole lassen sich durch Operationen
auf der zugrundliegenden Metrik berechnen.

Die Berechnungen werden auf den folgenden Seiten vorgenommen:

Erläuterungen zu den Einsteinschen Feldgleichungen


Die Einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante

Unter Verwendung der Kosmologischen Konstante lauten die Feldgleichungen: