Gravitation

letzte Änderungen: 06.10.2015
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r , F

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Beschreibung der Gravitation

Die Gravitation ist ein Phänomen, das zwischen Massen auftritt. Sie bewirkt, dass sich zwei Massen stets gegenseitig anziehen. Nach dem jetzigen Stand der Wissenschaft (soweit er mir bekannt ist) ist es nicht möglich, diese Wechselwirkung zwischen Massen abzuschirmen. Daher kann die Gravitationskraft in großen, kosmologischen Maßstäben wirken. Sie erklärt z.B. die Bewegung von Planeten um die Sonne oder von Sternen einer Galaxie um ihr Massenzentrum. Strukturbildungstheorien besagen, dass sich Materie unter dem Einfluß der Gravitation von der Expansion des kosmologischen Hintergrundes abgelöst hat und "Klumpen" bildete. Dies liefert eine Erklärung für das Zustandekommen von Galaxien und Galaxienhaufen.

Das Newtonsche Gravitationsgesetz

Die durch Gravitation hervorgerufen Kraft zwischen 2 Massen wird durch das Newtonsche Gravitationsgesetz beschrieben. Es gilt strenggenommen nur zwischen Punktmassen und zwischen zwei kugelförmigen, homogenen Massenverteilungen, die einen positiven Abstand voneinander haben.

G: Newtonsche Gravitationskonstante
M, m  : Massen
r: Betrag des Abstandes zwischen den Massenschwerpunkten

r: Richtungsvektor zwischen den Massen
r zeige von M auf m. 
F ist dann die Kraft, die M auf m ausübt. 
F ist auf den Massenschwerpunkt von M gerichtet.


Das Newtonsche Gravitationsgesetz gilt exakt für kugelförmige oder punktförmig konzentrierte Massen. Himmelskörper wie die Sonne und die Planeten werden bei der Herleitung der Keplerschen Gesetze als kugelförmig angenommen.

Weitergehende Überlegungen zur Newtonschen Theorie findet man in dem Artikel über das Gravitationsfeld.


Im folgenden wird eine geometrische Deutung der Gravitation angegeben

Geometrische Deutung der Gravitation

Nach Einstein ist es möglich, die Gravitation geometrisch zu betrachten. Was ist nun Geometrie? Aus der Schulmathematik sollte die sogenannte Euklidische Geometrie bekannt sein. So beschreibt z.B. die zweidimensionale Euklidische Geometrie die Verhältnisse in einem Dreieck (die Winkelsumme ist 180 Grad) oder "Parallelen schneiden sich im Unendlichen" (das ist wohl Unsinn, Parallelen schneiden sich in der Euklidischen Geometrie nie). Daneben gibt es auch andere Geometrien, z.B. die Geometrie auf der Oberfläche einer Kugel.  Eine "gerade Linie" auf dieser Oberfläche ist im dreidimensionalen euklidischen Raum ein Kreisbogen, z.B. sind Breitenkreise und Längenkreise "gerade Linien" auf der Kugeloberfläche. Aus diesen Linien kann man Dreiecke bilden, deren Winkelsumme sich von 180 Grad unterscheidet.

Warum sollte man nun plötzlich gekrümmte Linien als gerade Linien auffassen? Wir leben auf der Oberfläche einer Kugel und wenn wir uns scheinbar geradeaus bewegen, bewegen wir uns (über längere Strecken) auf einem Kreisbogen, ohne dies direkt zu bemerken. Man kann eine "gerade Linie" auch darüber definieren, dass sie der kürzeste Weg ist, um zwei Punkte miteinander zu verbinden.

In der Newtonschen Physik bewegt sich ein einmal angestoßener Körper geradlinig und gleichförmig, wenn keine äußeren Kräfte (wie z.B. die Reibung auf ihn einwirken). Diese Art von Bewegung verläuft ebenfalls entlang einer "geraden Linie", bewegt sich ein Körper "geradlinig" auf der Erdoberfläche, so muß er der Krümmung der Erdoberfläche folgen.

Betrachten wir nun die Bewegung im "schwerelosen Raum" (Weltraum). Im Sinne der Euklidischen Geometrie und der Newtonschen Physik müßte sich ein einmal angestoßener Körper auf einer geraden Linie fortbewegen. Da im freien Weltraum die Reibung mit einer Unterlage nicht vorhanden ist, sollte diese Bewegung nie zum Stillstand kommen und ständig geradeaus führen. Warum bewegen sich aber die Planeten um die Sonne? Man erklärt sich dies durch die Wirkung der Gravitationskraft, die die Sonne auf die Planeten ausübt.

Nach Einstein sind Raum und Zeit untrennbar miteinander verknüpft. Ein Planet bewegt sich also in der Raumzeit. Wirken keine Kräfte auf ihn ein, so bewegt er sich entlang einer geraden Linie im Euklidischen Sinne. Nach Einstein bewirkt das Vorhandensein großer Massen eine Deformation des Raumes, dies bewirkt eine Richtungsänderung der Bewegung.  Zwei Körper, die sich zuvor im euklidischen Sinne auf parallelen Linien zueinander bewegt haben, könnten sich z.B. auf Grund dieser Deformation aufeinander zu bewegen.

Zur Erklärung dieses Phänomens behilft man sich mit Analogieschlüssen. Betrachte zwei parallele Linien auf einem Stück flachen, aber plastisch verformbaren Material. Bildet man aus diesem Material den Teil einer Kugeloberfläche, so verändern die vormals parallelen Linien ihren Abstand zueinander, ein flacher Körper der dieser Deformation nicht folgen kann, wird zerrissen.

Analog erklärt man sich die Wirkung der Gravitation, nur dass man es jetzt mit einer Krümmung des dreidimensionalen Raumes zu tun hat. Für den Gebrauch mathematischer Gleichungen ist dies kein grundsätzliches Problem, die Anschauung kann dieser Abstraktion aber nicht folgen.

Wie kommt man nun auf solche Überlegungen? Die Gleichungen zur Beschreibung von Bewegungen auf gekrümmten Oberflächen haben eine ähnliche formale Gestalt, wie die Bewegungsgleichungen, die aus der Einsteinschen Theorie folgen.

Um diese Gleichungen verstehen zu können, habe ich ein paar grundlegende Betrachtungen zum Tensorkalkül angeführt.

Der bisherige Text vermittelt nur einen Teil der "Wahrheit". Im Rahmen der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit als eine Einheit betrachtet. Massen, die in diese Raum-Zeit eingebettet sind, bewirken sowohl eine Krümmung des Raumes als auch eine Krümmung der Zeit.

Die Krümmung des Raumes wurde bereits behandelt, was ist nun aber eine Krümmung der Zeit?

Man kann sie an Hand ihrer Wirkung erkennen, z.B. laufen Atomuhren, die sich auf einem Berg befinden, schneller als äquivalente Uhren auf der Höhe des Meeresspiegels. Auf dem Berg ist man weiter vom Gravitationszentrum der Erde entfernt.


Schwarze Löcher

Fällt ein Raumschiff in ein Schwarzes Loch, so benötigt es für einen weit entfernten Beobachter unendlich viel Zeit, um den Ereignishorizont zu erreichen. Andererseits vergeht für die Passagiere nur endlich viel Zeit, bis sie hineingefallen sind.
(vgl. z.B. Fliessbach). (Bei diesen Betrachtungen wird von einem kugelsymmetrischen schwarzen Loch ausgegangen)

Hieraus schließe ich, dass die Zwillingsuhr in dem Raumschiff langsamer geht als die Uhr des weit entfernten Beobachters, denn die Passagiere brauchen für den zurückzulegenden Weg weniger Zeit. 

Zu beachten ist dabei, dass dies "relative Betrachtungen" sind. 

Auf die langsamere Gangart der Uhr im Raumschiff wird von dem weit entfernten Beoachter geschlossen. Für den Reisenden im Raumschiff hat sich nichts an der Gangart seiner Uhr geändert, für ihn verhält sie sich so wie vor Beginn der Reise. 

Man kann den Widerspruch auflösen, wenn der Ereignishorizont für einen weit entfernten Beobachter eine kugelförmige Gestalt annimmt (oder irgendeine andere dreidimensional geschlossene gekrümmte Form). Dann verlaufen die Lichtstrahlen in der Umgebung des Ereignishorizontes selbst auf gekrümmten Bahnen, und brauchen entsprechend länger um zu dem entfernten Beobachter zu gelangen, bis sie schließlich gar nicht mehr nach außen gelangen können. Diese Überlegungen setzten aber auch eine Krümmung des Raumes voraus. Wie aber sind die Verhältnisse, wenn man es z.B. im wesentlichen mit einer Krümmung in der Zeit zu tun hat, wie sie z.B. bei "schwachen Gravitationsfeldern" angenähert gegeben ist (hierzu zählt auch das Erdgravitationsfeld).

Wie sich die Zeitkrümmung auf das Verhalten von Uhren auswirken kann, erkennt man am besten, wenn man die Metrik der kugelsymmetrischen Raumzeit analysiert, die Schwarzschildmetrik. Für das Verständis des Artikels benötigt man allerdings einige Kenntnisse über den Metrischen Tensor.


Metrischer Tensor

Auf den metrischen Tensor wird in dem Artikel "Tensoren in klassischer Sichtweise und der Begriff der Metrik" eingegangen (Link: Tensorkalkül).

Die Auswirkungen eines homogenen Gravitationsfeldes auf den metrischen Tensor wird in dem folgenden Artikel beschrieben. Man erkennt, dass nur die Krümmung der Zeitkomponente in die Beschreibung der Gravitation eingeht. 

In dem Abschnitt Eigenzeit im Gravitationsfeld wird auf die Auswirkungen der Zeitkrümmung eingegangen.

Krümmung in der Zeit

Die Krümmungen in der Zeit bieten das Material für Science Fiction Stories über Zeitreisen.

Es gibt in der Tat mathematische Theorien über geschlossene Raum-Zeit-Linien, was immer man sich darunter vorstellen soll. Möglicherweise werden solche Verhältnisse durch Schwarze Löcher hervorgerufen.

Zwillingsparadoxon


In der Speziellen Relativitätstheorie bewirkt ein beschleunigtes System das "Zwillingsparadoxon". Ein Zwilling in einem Raumschiff, das von der Erde weg auf eine hohe Geschwindigkeit beschleunigt wurde, ist nach seiner Rückkehr jünger als sein auf der Erde zurückgebliebener Zwilling. Hieraus schließe ich, dass eine beschleunigte Uhr langsamer geht, als ihre relativ hierzu zurückgebliebene, unbeschleunigte Zwillingsuhr.

Allerdings bedeutet dies nicht, dass der Zwilling im Raumschiff seine Eigenzeit anders erlebt als der Zwilling auf der Erde. Für ihn hat sich an der Gangart seiner Uhren nichts geändert. Wenn beide gleich aufgebaute Bücher lesen würden (mit der gleichen Lese- und Verarbeitungsgeschwindigkeit), hat der zurückgebliebene Zwilling auf der Erde nach der Rückkehr seines Zwillings mehr geschafft.

Wenn man ein Raumschiff  über "lange Zeit"  mit einem g beschleunigt, vergrößert sich der Effekt der Zeitdilatation weit über das Maß hinaus, welches durch das Erdgravitationsfeld bewirkt wird, obwohl der Passagier den Unterschied gar nicht merkt (wenn er nicht aus dem Fenster schaut).


Weitere Informationen über Einsteins Sicht der Gravitation findet man auf der einführenden Seite über Relativität.