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Kosmologie

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letzte Änderungen: 02.07.2015

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine Beschreibung

Einige der möglichen Modelle des Universums setzen voraus, dass es im Großen homogen und isotrop ist. Diese Voraussetzung gilt sicher nicht für unsere lokale kosmische Umgebung, z.B. das Sonnensystem oder die Galaxis.

Eine homogene Massenverteilung bedeutet, dass in jedem Raumvolumen die gleiche Masse vorhanden ist. Die Masse ist aber auf Sterne (Sonnen) und Planeten konzentriert, zwischen denen im wesentlichen Vakuum vorherrscht.  Im Vakuum berechnet sich die Materiedichte über einzelne Atome oder Moleküle pro Kubikmeter.

In den Leerräumen zwischen den Galaxien sind (wenn überhaupt) nur wenige Sterne vorhanden. Die Galaxien bilden Galaxienhaufen,  Galaxienhaufen sind ihrerseits in Superhaufen organisiert.

In unserem Planetensystem verteilt sich die Masse vorwiegend auf die Sonne und die Planeten, somit ist die Materieverteilung im Sonnensystem nicht homogen.

Eine isotrope Massenverteilung bedeutet, dass die Verteilung der Masse unabhängig von der Richtung ist, in die man schaut.

Die Materieverteilung ist in unserem Sonnensystem nicht isotrop, die Planeten rotieren um die Sonne und sind im wesentlichen auf einer Fläche angeordnet, auf denen sie ellipsenförmige Bahnen beschreiben. Die Sonne befindet sich in einem der Brennpunkte dieser Bahnen.

Betrachtet man das Universum nur in Bezug auf die Materieverteilung in sehr grossen Volumeneinheiten (in die Superhaufen eingebettet werden können), so erscheint die Materie im Mittel homogen und isotrop verteilt (man kann z.B. sagen, eine Kugel mit einem Radius von 1 Milliarde Lichtjahre enthält im Mittel die gleiche Menge von Materie und diese ist im Mittel in jede Richtung, in die man schaut, gleich verteilt).


Die große Leere

Neuere Messungen haben zu der Entdeckung eines Leerraumes geführt, der eine Ausdehnung von 1 Milliarde Lichtjahre haben soll.

Ein homogenes und isotropes Universum

Die Voraussetzung der homogenen und isotropen Massenverteilung ist für kosmologische Modelle wichtig. Man findet für ein als homogen und isotrop angenommenes Universum Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen, die die Dynamik des Universums beschreiben.

Der Durchmesser des Universums wird auf etwa 10 Milliarden Lichtjahre geschätzt. Diese Größenangabe bezieht sich auf den für uns sichtbaren Bereich des Universums. Aus Beobachtungen schließt man, dass das Universum expandiert. Die Geschwindigkeit der Expansion nimmt mit der Entfernung zu und überschreitet ab etwa 10 Milliarden Lichtjahre die Lichtgeschwindigkeit. Zu beachten ist dabei, dass z.B. ein Blick auf eine eine Milliarde Lichtjahre entfernte Galaxis auch ein Blick in die Vergangenheit ist, denn das Licht, das jetzt bei uns ankommt, war eine Milliarde Jahre unterwegs.

Große Entfernungen werden über die Rotverschiebung der eintreffenden Lichtstrahlen gemessen. Um die entsprechenden Gleichungen verstehen zu können, werde ich zunächst die Metrik der Raum-Zeit angeben, die ein homogenes und isotropes Universum beschreibt.

Für ein homogenes und isotropes Universum ist dies die Robertson Walker Metrik (RWM):

Robertson Walker Metrik

Eine größere Darstellung des Bildes

Die zugehörige Tensordarstellung:

Tensor der Robertson Walker Metrik

Eine größere Darstellung des Bildes

Berechnet wird die Metrik mit Hilfe der Einsteinschen Feldgleichungen für ein homogenes und isotropes Universum.

Zum Vergleich die Tensordarstellung für k = 0 und a = 1:

Tensordarstellung des gravitationsfreien Raumes

Tensor der SRT in Kugelkoordinaten

Eine größere Darstellung des Bildes

Dieser Tensor beschreibt die Metrik des gravitationsfreien Raumes in Kugelkoordinaten.

Referenz zur Beschreibung einer Metrik

Eine einführende Beschreibung einer Metrik findet man in dem Kapitel über Tensoren.

Beschreibung der Robertson Walker Metrik

Für eine genauere Beschreibung dessen, was diese Metrik eigentlich aussagt, müssen Aussagen darüber getroffen werden, was man unter der verwendeten Zeit t versteht. Die Bedeutung von a(t) ist zu klären. Ich möchte zunächst etwas über den Parameter k aussagen.

Der Parameter k kann die Werte -1, 0, 1 annehmen (vgl auch die folgende Seite). Welchen Wert k annimmt, hängt von dem zugrundeliegenden kosmologischen Modell ab. Für ein homogenes und isotropes Universum gibt es drei unterschiedliche Möglichkeiten, wie es aussehen könnte.

Für k = 0 beschreibt die Metrik im wesentlichen eine flache (euklidischen) Raum-Zeit. Der Zeitanteil der Metrik entspricht dem bereits in der Speziellen Relativitätstheorie eingeführten Anteil der flachen Metrik, der räumlichen Anteil beschreibt für a(t) = 1 einen euklidischen Abstand im dreidimensionalen Raum in Kugelkoordinaten. a(t) ist der sogenannte Expansionsfaktor des Universums zur Zeit t.

Für k = 1 beschreibt der räumliche Anteil der Metrik die "Oberfläche" einer 4 dimensionalen Hyperkugel vom Radius 1, die um den Faktor a(t) gedehnt ist (eine Erklärung folgt weiter unten).

Diese "Oberfläche" ist der mit unseren Sinnen wahrnehmbare dreidimensionale Raum.

Für k = -1 erhält man auch einen gekrümmten Raum, der hat aber jetzt eine negative Krümmung.

In der Analogie der gekrümmten Flächen hat die Oberfläche einer Kugel eine positive Krümmung (Wölbung), eine Sattelfläche enthält einen Anteil mit negativer Krümmung (wo sie eingebuchtet ist).

Die Zeit t, die in dieser Metrik vorkommt, ist die sogenannte Eigenzeit eines mitbewegten Beobachters. In der heutigen Zeit sind wir diese mitbewegten Beobachter.

Befinden wir uns z.B. in einem frei fallenden Fahrstuhl und haben eine Uhr bei uns, so misst diese unsere Eigenzeit. Allerdings gibt es im frei fallenden Fahrstuhl keine Gravitation, der metrische Tensor entspricht in diesem Beispiel dem metrischen Tensor der speziellen Relativitätstheorie.

Die nachfolgende Rechnung bezieht sich auf das Buch von Landau Lifschitz (S. 430), sie zeigt, dass der räumliche Anteil der RWM für k = 1 einen gekrümmten dreidimensionalen Raum beschreibt. Dieser Raum kann als Oberfläche einer vierdimensionalen Hypersphäre aufgefasst werden.

Die Definitionsgleichung einer gewöhnlichen Kugel x12  +  x22  + x32  = r2  wird auf vier Dimensionen erweitert (s.u.).
Das "Linienelement" dl2 = dx12  + dx22  + dx32  berechnet den dreidimensionalen euklidischen Abstand (im dreidimensionalen flachen Raum). Dieses Linienelement wird auf 4 Dimensionen erweitert (s.u.). Verwendet man beide Gleichungen, die Gleichung für die Hypersphäre und die Gleichung für das vierdimensionale Linienelement, so können hiermit Abstände auf der Hypersphäre (der dreidimensionale gekrümmte Raum)  berechnet werden (unter Verwendung der Integralrechnung).


Interpretation der Robertson Walker Metrik

Eine größere Darstellung des Bildes

Eine größere Darstellung des Bildes


Zum Vergleich die RWM:

Eine größere Darstellung des Bildes


Die eingeführten Kugelkoordinaten beinhalten eine andere Koordinaten-Beschreibung des Raumes.

(das Vorgehen entspricht einer Beschreibung der Ebene in Polarkoordinaten)

Wenn die Koordinaten x1 , x2 , x3 den dreidimensionalen Raum beschreiben, so kann x4 als eine zusätzliche Hyperkoordinate des Raumes interpretiert werden.

Der Zeitanteil der RWM entspricht der flachen Metrik der SRT. Das liegt daran, dass t die Eigenzeit eines mitbewegten Beobachters beschreibt, und für einen mitbewegten Beobachter verschwindet die Krümmung in der Zeitkomponente.

dl2 beschreibt in Kugelkoordinaten Abstände auf der Oberfläche der Hyperkugel vom Radius a, diese kann als gekrümmter dreidimensionaler Raum interpretiert werden.

Für a = 1 folgt k = 1, d.h. man betrachtet eine Hyperkugel vom Radius 1.

dl2 beschreibt dann Abstände auf der Oberfläche dieser Hyperkugel, also in einem gekrümmten dreidimensionalen Raum.

a(t) gibt an, wie weit Abstände im Raum gegenüber dl2 gedehnt sind.

a(t) ist ein anderer Parameter als die Größe a in der Gleichung x12 + x22 + x32 + x42 = a2 .

Man kann ähnliche Überlegungen anstellen, um einen Raum mit der konstanten Krümmung (-1) zu beschreiben
(vgl. Landau Lifschitz)


Bemerkung
Für  x12 + x22 + x32 = a2 muss x4 = 0 sein, da x12 + x22 + x32 + x42 = a2 vorausgesetzt wurde.
a ist der Radius der Hypersphäre.

Zum Vergleich betrachte man die Gleichung einer Kugeloberfläche: x2 + y2 + z2 = a2 mit Radius r = a.
Falls bereits x2 + y2 = a2 gilt, muss z = 0 sein. In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem bedeutet dies, x und y beschreiben Koordinaten in der xy-Ebene.

Der Nenner in der Berechung für dx4 lautet a2 - (x12 + x22 + x32). Der Zähler ist das Skalarprodukt aus den Vektoren dx und x,
mit dx = (dx1,dx2,dx3) und x = (x1,x2,x3). Das Skalarprodukt ergibt 0, falls dx orthogonal zu x ist.

Falls also x12 + x22 + x32 = a2gilt, ergibt dx4 einen undefinierten Ausdruck der Form 0/0. Ob man hierfür einen definierten Wert angeben kann, müssen weitergehende Überlegungen zeigen.

Bei der Robertson-Walker-Metrik ergibt r = 1 eine 0 im Nenner, falls k = 1 ist. Ich nehmen an, dass hier a = 1 gesetzt wurde. Den Faktor a(t) kann ich nicht aus den Überlegungen zur Hypersphäre bestimmen.

Die Robertson-Walker-Metrik zeigt im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik keine physikalischen Singularitäten (bis auf dieses 0/0, was wahrscheinlich aber eine hebbare Singularität darstellt).

Die Schwarzschild-Metrik hat für r = 0 Singularitäten in Raum und Zeit, es sei denn, dass $dt = 0$ und $dr= 0$ für $r = 0$ gilt. (?)
Die Singularität für r = 2a (Schwarzschildradius) ergibt ein 0/0, eine hebbare Singularität, wie Veröffentlichungen im Internet zeigen.
Und der Gültigkeitsbereich der Schwarzschild-Metrik wurde für den Bereich außerhalb des Ereignishorizontes festgelegt.

Überlegungen zur Orthogonalität von $\vec{x}$ und $\vec{dx}$

Man betrachte zum Vergleich den Schnitt einer Kugel mit Radius a um den Ursprung eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems mit der xy-Ebene. Die Tangenten an Punkte
x = (x,y) mit x2 + y2 = a2 stehen senkrecht auf der xy-Ebene.

$x^2 + y^2 = a^2$ impliziert $2xdx + 2ydy = 0$, hieraus folgert man $xdx+ydy=0$;

d.h. der Vektor $\vec{dx}=(dx,dy)$ ist orthogonal zu $\vec{x}=(x,y)$.

Das Skalarprodukt $\vec{dx} \cdot \vec{x}$ ergibt ja gerade $xdx+ydy$.

Beschreibung eines vierdimensionalen Raumes

Anmerkung:

In dem Buch von Rudy Rucker über "die Wunderwelt der vierten Dimension" kann man nachlesen, welche Phänomene ein vierdimensionaler Raum für seine dreidimensionalen Bewohner bereithalten könnte.

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