Tensoren in klassischer Sichtweise und der Begriff der Metrik

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Tensoren

Eine formale (mathematische) Beschreibung eines Tensors findet man auf der folgenden Seite.

Auf dieser Seite wird eine an der Anschauung orientierte Darstellung verwendet, die in der Beschreibung der Relativitätstheorie Verwendung findet (z.B. Fließbach, Allgemeine Relativitätstheorie).

Ein Tensor wird nach der Anzahl seiner Indizes unterschieden. Ein Tensor ohne Indizes heißt Skalar, ein Tensor mit einem Index Vektor, ein Tensor mit 2 Indizes heißt nicht einfach Matrix, da seine mathematische Bedeutung eine andere ist.

Matrizen vermitteln lineare Abbildungen, ein Tensor mit 2 Indizes wird mathematisch als multilineare Abbildung mit zwei Eingängen definiert. Ein solcher Tensor wird durch 4 Komponenten beschrieben (da unterscheidet er sich nicht von einer 2 x 2 Matrix). Beispiele für Tensoren werden weiter unten angegeben.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) betrachtet man Tensoren mit 4 Indizes, d.h. ein solches Gebilde besteht
aus 256 Komponenten (4 x 4 x 4 x 4).

Tensoren erlauben die Beschreibung physikalischer Gesetze unabhängig vom lokalen Bezugssystem. In der ART sind Tensorgleichungen invariant gegenüber Koordinatentransformationen. Diese Eigenschaft ergibt sich auf Grund der Definition eines Tensors.

Man kann diese Eigenschaft ausnutzen, indem man physikalische Gesetze in einem möglichst einfachen System definiert, z.B. in einem System wo das Gravitationsfeld verschwindet. Nachdem man die Gesetze formuliert hat werden sie in ein allgemeineres System transformiert und bleiben dabei forminvariant, d.h. sie sehen in allen Systemen gleich aus. Man erreicht dies in der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) dadurch, dass man bei der Definition von Tensoren den Begriff Koordinatentransformation verwendet.

Ein Beispiel für eine Tensorgleichung ist durch die Einsteinschen Feldgleichungen  gegeben. Allerdings reduziert sich diese Gleichung im flachen Raum der Speziellen Relativitätstheorie zu 0 = 0.

In der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) werden physikalische Gesetze so ausgedrückt, dass sie invariant gegen Lorentztransformationen (LT) sind. Die Begriffe Vektor und Tensor werden so definiert, dass sie den Begriff Lorentztransformation verwenden.

Metrik

Eine Metrik definiert Abstände. Meistens betrachtet man Abstandsquadrate und einen metrischen Tensor, durch den das Abstandsquadrat definiert ist.

Betrachten wir als Beispiel den euklidischen Abstand in der Ebene zwischen den Punkten mit den Koordinaten
(x0) = (x0,y 0) und (x1) = (x1,y1).  Das Quadrat eines solchen Abstandes ist definiert als
d2  = (x1   -  x0)2 + (y1  - y 0)2.

Zur Unterscheidung von Punkten und Koordinaten schreibe ich Punkte i.A. in der Form (xi) und Koordinaten in der Form xi.
Der Index i dient bei den Punkten der Numerierung und gibt bei den Koordinaten deren Position an.
 

 

Abbildung 1: Abstand zwischen zwei Punkten der Ebene

Abbildung 2: Vektorschreibweise für Abstände

Es ist Konvention die Indizes mit 0 beginnen zu lassen.

Wenn man definiert: dx0 := (x1  -  x 0 ), dx1 := (y1  - y0) und für d den Term ds verwendet, kann man man das ganze so schreiben:  ds 2  = (dx0)2 + (dx1)2 .  (dx0)2 beschreibt das Abstandsquadrat der ersten Komponenten der Vektoren (x0) und (x1) , (dx 1)2  beschreibt das Abstandsquadrat der zweiten Komponenten dieser Vektoren.

dx0   und dx1  werden in der Literatur oft auch als Vektoren aufgefaßt (siehe Abb.2), ds2 berechnet sich dann über die Quadrate der Beträge dieser Vektoren, ds ist der Abstand zwischen den Punkten (x0) und (x1).

ds, dx0 und dx1 sollen "kleine" Abstände beschreiben. Man führt diese Symbolik ein, da diese Abstandsgleichung auf krummlinigen Flächen, wie z.B. auf der Kugeloberfläche, nur für sehr kleine Abstände angenähert gilt.

Man kann nun für diese Gleichung eine Größe g mit zwei Indizes definieren, so dass folgendes gilt:

ds2  =  g00 * (dx0)2   + g11 * (dx1)2  mit g00 = 1 und  g11 = 1

Damit ist man fast schon soweit, um die tensorielle Schreibweise verstehen zu können.

Definiert man gik  = 0 für alle Indizes i, k die voneinander verschieden sind, und läßt man für i und k jeweils die Werte 0 und 1 zu, so erhält man folgende Gleichung:

ds2  =  g00 * (dx0)2   + g01 * (dx0)(dx1) +  g 10* (dx1)(dx0) + g11 * (dx1 )2

ds2  beschreibt den euklidischen oder linearen Abstand in der Ebene. Man kann die gik in folgender Schreibweise zusammenfassen:

g beschreibt den metrischen Tensor der Ebene .

Die oben angegebene Gleichung für ds2  kann auch folgendermaßen geschrieben werden:

Einsteinsche Summationskonvention

Verwendet man die  "Einsteinschen Summationskonvention" , so läßt man das Summenzeichen weg. Für die doppelt vorkommenden Indizes (einer unten, der andere oben) wird angenommen, dass über sie summiert wird:

In dieser Schreibweise erkennt man nicht, welche Werte die Indizes i und k annehmen können. In der Relativitätstheorie findet diese Formel Anwendung in der 4-dimensionalen Raumzeit, die Indizes i und k können jeweils die Werte 0,1,2,3 annehmen.

Die indizierte Größe  gik  wird als metrischer Tensor bezeichnet. In der speziellen Relativitätstheorie wird sie (von vielen Autoren, aber nicht von allen) folgendermaßen dargestellt:

g00 = 1, g01= 0 ,..., g11= -1 ,..., g33 = -1

Man arbeitet hier mit sogenannten Vierervektoren, (xi) = (ct, x1 , x 2 , x3)  bzw. (dxi) = (cdt, dx1 , dx2 , dx3):

x0 = ct , dx0= cdt

(das Multiplikationszeichen zwischen c und t wird in der Regel weggelassen)

Für die Größe ds2 ergibt sich (Summation über beide Indizes von 0 bis 3):


ds2    = c2 dt2   - (dx1)2  - (dx2)2  -  (dx 3)2

ds2 beschreibt die sogenannte Flache Metrik der Speziellen Relativitätstheorie.

Der Ausdruck dl2 =  (dx1)2  + (dx2)2  +  (dx 3)2 wird als Linienelement des dreidimensionalen euklidischen Raumes betrachtet. Hierüber lassen sich Abstände im Raum berechnen. Für die flache Metrik der speziellen Relativitätstheorie gilt dann:  ds2 = c2 dt2 - dl2. In dem Kapitel über Kosmologie wird eine Metrik angegeben, die nicht flach ist.

Vierervekoren sind Punkte im vierdimensionalen Raum mit besonderen Eigenschaften, die sich auf Grund ihres Transformationsverhaltens gegenüber Lorentztransformationen ergeben. Die erste Komponente eines Vierervektors ist eine Zeitkoordinate, die anderen drei Komponenten sind Raumkoordinaten. Anstatt "erste Komponente" könnte man auch "nullte Komponente" schreiben, da die Abzählung der Komponenten per Konvention mit Null beginnt.

c steht für die Lichtgeschwindigkeit (eine Konstante), (dxi)   bezeichnet den Abstand des Vierervektors (xi)  zu einem "benachbarten", dxk die Wurzel aus dem Quadrat des Abstandes der k.ten Komponente zweier "benachbarter" Vierervektoren, k kann die Werte 0,1,2,3 annehmen, dx0  ist definiert als cdt, dt bezeichnet den Abstand der Zeitkoordinaten der beiden Vierervektoren.

"benachbart" ist im Sinne der Infinitesimalrechnung so aufzufassen, dass Effekte, die z.B. durch Krümmungen einer Fläche oder des Raumes auftreten, bei der Abstandsberechnung vernachlässigt werden können. Dieser Betrachtung ist erst in der Allgemeinen Relativitätstheorie wichtig, da dort gekrümmte vierdimensionale Räume vorliegen, in der speziellen Relativitätstheorie ist der vierdimensionale Raum dagegen flach.

Anstatt dxi könnte man in der speziellen Relativitätstheorie auch xi schreiben.

Für ds2 = 0 erhält man folgende Darstellung:

 0  = c2 dt2   - (dx1)2  - (dx2)2  -  (dx 3)2

c2 dt2 = (dx1)2  + (dx 2)2  +  (dx3)2

(aus Gründen der Übersichlichkeit wurden hier die Komponenten dxi in Klammern gesetzt)

Die zuletzt angegebene Gleichung beschreibt die Ausbreitung des Lichtes als Kugelwelle mit dem Dreiervektor (x1 , x2 , x3) als Zentrum. Nach der Zeit dt hat das Licht den Weg cdt zurückgelegt.

dt gibt den zeitlichen Abstand zu einem Anfangszeitpunkt t0 an, an dem die Kugelwelle entstand, dx beschreiben den Abstand zum Zentrum der Kugelwelle zum Zeitpunkt t0 + dt.

In der speziellen Relativitätstheorie beschreibt man sogenannte Intertialsysteme, die sich zueinander geradlinig und gleichförmig bewegen. In dem einen System werden die Koordinaten von Punkten durch Vierervektoren
xi = (ct, x1 , x2 , x3) angegeben, in dem anderen System durch xi ' = (ct ', x1 ', x 2 ', x3 ').

Hierfür findet man auch die Schreibweise xi = (ct, x , y , z)  bzw. xi ' = (ct', x' , y' , z')

Das System mit den ungestrichenen Koordinaten wird in der Regel als ruhend angenommen, das System mit den gestrichenen Koordinaten bewegt sich relativ hierzu. Der Übergang zwischen den beiden Systemen wird durch die Lorentztransformation vermittelt. Die bereits eingeführte Größe ds2  ist invariant gegenüber Lorentztransformationen, d.h. es gilt sowohl

als auch

Eine größere Darstellung des Bildes

Die Klammern werden in der Regel weggelassen. Man erkennt, dass in beiden Systemen der gleiche metrische Tensor gik   verwendet wird.  ds2  kann in diesen Gleichungen von Null verschieden sein.

Zu beachten ist, dass (ds')2 = (ds)2 gilt, i.A. aber nicht dt' = dt, dx' = dx ...

In der allgemeinen Relativitätstheorie nimmt der metrische Tensor gik  eine wesentlich kompliziertere Gestalt an. Er beschreibt das Gravitationsfeld, das in der speziellen Relativitätstheorie nicht existiert.

Die Bedeutung von ds2 ist die einer "Eigenzeit" (bis auf einen Faktor 1/c, c ist die konstante Lichtgeschwindigkeit).

Man betrachte z.B. ein ruhendes System S in dem sich ein anderes System S' mit der Geschwindigkeit v bewegt. Mit S' fest verbunden sei eine Uhr. Die von dieser Uhr gemessene Zeit ist die Eigenzeit des bewegten Systems S'. Zwischen der in S gemessenen Zeit dt und der in S' gemessenen Zeit dbesteht folgender Zusammenhang:

Dies folgt aus der Auswertung der Lorentztransformation.

Eine größere Darstellung des Bildes

Das ruhende System könnte z.B. ein Labor sein und das bewegte System ein Elektron auf einer Kreisbahn.

  d misst dann die Zeit, die "aus der Sicht des Elektrons" vergeht.


Wichtig dabei ist, dass das bewegte Elementarteilchen eine sogenannte Ruhemasse besitzt, andernfalls ist der Begriff Eigenzeit überhaupt nicht definiert.

Ein Photon z.B. hat keine Ruhemasse, und somit existiert für dieses Elementarteilchen keine Eigenzeit.

Ein Charakteristikum für Teilchen mit Ruhemasse ist, dass ihre Relativgeschwindigkeit zum Laborsystem immer unterhalb der des Lichtes sein muss. Ein Photon bewegt sich andererseits nur mit Lichtgeschwindigkeit relativ zum Ruhesystem eines Beobachters.

Man kann zwar die Ruhemasse eines Elektrons bestimmen, aber es ist unmöglich, ein Elektron auf einen bestimmten Raumpunkt zu fixieren. Auf Grund der Unschärferelation der Quantenmechanik würde eine sehr genaue Ortsbestimmmung eines Elektrons (= Fixierung auf ein sehr kleines Volumen) einen derart grossen Impuls hervorrufen, dass es  aus diesem eingeschränkten Raumvolumen ausbrechen würde.

Unscharf sind bei diesen Überlegungen die Begriffe "sehr genau", "sehr gross". Man weiss zur Zeit nicht, wie gross bzw. klein der Durchmesser eines Elektrons ist. Es scheint "unendlich klein" zu sein.

Elektronen, die aus dem "sehr kleinen" , aber nicht unendlich kleinem Bereich eines Atomkerns ausgestoßen werden, haben bereits eine gewaltige kinetische Energie und damit einen "sehr grossen" Impuls.

Damit wird auch die räumliche Ausdehnung von Atomen erklärbar. Einerseits bewirkt die Anziehung durch den Atomkern, dass sich das Elektron auf diesen zubewegt, andererseits bewirkt die dann genauer werdende räumliche Lokalisierung eine Zunahme des Impulses. Es gibt Modellberechnungen, die die Größe des Atoms auf Grund eines Gleichgewichtszustandes zwischen potenzieller und kinetischer Energie erklären.

Die "wahren" Verhältnisse sind komplizierter. Beschreibt man Elektronen durch Wellenfunktionen, so kann das Zustandekommen der Atomhülle über stehende Elektronenwellen erklärt werden (Orbitalmodelle). Dabei geht man weiterhin von einer "punktförmigen Vorstellung des Elektrons" aus, kann aber nicht mehr exakt angeben, wo es sich zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet. Das führt zur Theorie der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons.


Auf den nachfolgenden Seiten werden Begriffsbildungen der Speziellen Relativitätstheorie behandelt. Eine einführende Behandlung von Bewegungsgleichungen im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie  unter Verwendung des Tensorkalküls findet man auf der Seite Bewegungsgleichungen in der ART.

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