Lorentztransformation

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Intertialsysteme und Ereignisse

Man betrachte zwei Inertialsysteme, die sich geradlinig und gleichförmig gegeneinander bewegen.

Eine größere Darstellung des Bildes

Ein Ereignis ist ein durch die Angabe eines Ortes und einer Zeit beschreibbares Phänomen, das von beiden Systemen aus beobachtet werden kann. Im System S werde für das Ereignis die Zeit t gemessen, im System S´ die Zeit t´.

Das System S´ bewege sich mit der Geschwindigkeit v gegenüber dem System S in die x - Richtung von S (s.Abb.)
Zum Zeitpunkt t = 0 sollen die y und y´ Achsen zusammenfallen.

Das Ereignis werde in dem System S´ durch die Koordinate x´ räumlich lokalisiert, in dem System S durch die Koordinate x.

Nach den linearen Bewegungsgesetzen aus der Newtonschen Mechanik und deren Voraussetzung, dass in allen bewegten Systemen die gleiche Zeit t vorherrscht, würde man erwarten, dass x´ = x - vt und t = t´ gilt.

Diese Beziehungen sind im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie nicht gültig.

Warum ist nun das lineare Bewegungsgesetz nicht gültig?
 
In den folgenden Gleichungen werden die Differentiale dx, dt, dx' und dt' verwendet. dx bezeichnet Ortsdifferenzen, dt Zeitdifferenzen im System S,
dx' Ortsdifferenzen im System S' und dt' Zeitdifferenzen im System S'.
Der Quotient dx'/dt' ergibt die Geschwindigkeit vrel', mit der sich ein Körper im System S' relativ zur x'-Achse bewegt.
Entsprechend beschreibt dx/dt die Geschwindigkeit vrel, mit der sich ein Körper im System S relativ zu x-Achse bewegt.
Anstelle der Schreibweise mit Differentialen können in der Speziellen Relativitätstheorie
auch Differenzen verwendet werden.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden Differentiale benötigt, da das dort beschriebene Gravitationsfeld eine ortsabhängige Größe ist.
In der Speziellen Relativitätstheorie ist kein Gravitationsfeld vorhanden.

Da die spezielle Theorie ein Spezialfall der allgemeinen Theorie ist, habe ich Differentiale hier schon (andeutungsweise) verwendet.

Es gibt eine mathematische Theorie der Differentialformen, die aber für das Vorhaben dieser Seite etwas zu aufwendig ist
(vgl. z.B. Heil und die weitere dort angegebene Literatur).
Im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie kommt man mt t , x etc. aus, in der allgemeinen Relativitätstheorie wird allerdings der Differentialformenkalkül benötigt.

Betrachten wir die Ausbreitung eines Lichtsignals im System S' in Richtung x´ (z.B. entstanden durch das Anzünden einer Kerze). Die Geschwindigkeit des Lichtsignals berechnet sich in S´ nach der Gleichung

dx´/dt´ = c

Nimmt man jetzt an, dass x´ = x - vt und t = t´ gilt (t = t´ =>  dt = dt´), so folgt:

x = x´ + vt, dx/dt = dx´/dt + vdt/dt = dx´/dt + v = dx´/dt´ + v = c + v,     (x = x´ + vt  =>  dx = dx´ + vdt)

d.h. die Lichtwelle würde sich für einen Beobachter in S mit der Geschwindigkeit c + v bewegen.

Aus experimentellen Befunden schließt man, dass dieses Resultat falsch ist. Das Lichtsignal darf sich auch für einen Beobachter in S nur mit der Geschwindigkeit c bewegen.

Wie kommt man nun zur Lorentztransformation?

Man betrachte die Größe ds2 , die in dem Kapitel über Tensoren eingeführt worden ist und fordere für eine Transformation in das System S´, dass ds2 = ds´2 gelten soll.



In dem eindimensionalen Fall des auf dieser Seite betrachteten Beispiels sind für alle Zeiten t bzw. t´:

dy = 0 und dz = 0 sowie dy´ = 0 und dz´ = 0, da sich das Lichtsignal nur in x - bzw. x´ - Richtung bewegt

(dy > 0 würde z.B. besagen, dass sich die y Koordinate ändert).


Aus ds2 = ds´2 schliesst man c2dt2 - dx2 = c2dt´2 - dx´2 , und aus dx´/dt´ = c  folgt c2dt´2 - dx´2 = 0.

Damit ist dann aber c2dt2 - dx2 = 0, und hieraus folgert man dx/dt = c.

Man kann auch umgekehrt schliessen, dass dx/dt = c zur Folge hat: dx´/dt´ = c.

Hieraus resultiert die

Bedeutung von ds2 = ds´2 :
 
Die Lichtgeschwindigkeit c hat in beiden Systemen den gleichen Wert, unabhängig von der Größe der Relativgeschwindigkeit v, und dies ist äquivalent zu der Gleichung ds2 = ds´2

Aus der Beziehung ds2 = ds´2 leitet man die mathematische Form der Lorentztransformation her.

Hierbei geht man folgendermassen vor:

Eine größere Darstellung des Bildes

Es wird der metrische Tensor (gik) verwendet.

In der angegebenen Darstellung wird die Einsteinsche Summationskonvention angewandt, d.h. über gleich benannte Indizes (der eine oben, der andere unten) wird summiert. Die Summation erfolgt jeweils von 0,..,3.

Die oben angegebene Gleichung zur Berechnung von (x´i) aus (xi) definiert den Ortsvektor (xi) als Vierervektor (den Index i habe ich jetzt nur verwendet, weil mir momentan keine griechischen Buchstaben zur Verfügung stehen, (xi) bezeichnet Vierervektoren und der Index i zählt sie ab, während der Index i in der Schreibweise xi die Komponenten von (xi) durchnumeriert).

Die angegebenen Transformationen kann man z.B.bei Fliessbach nachlesen


Link zur eindimensionalen Lorentztransformation (x' wird berechnet)

Für die oben angegebene (eindimensionale) Bewegung ergibt sich folgendes Resultat:

   , 

Der Link zur eindimensionalen Lorentztransformation liefert die Berechnung für x´.

Interpretation der Gleichungen:

Betrachte eine Uhr, die im Ursprung von S' ruht, d.h. es ist x' = 0.

Sie bewegt sich relativ zu S mit der Geschwindigkeit vt in x - Richtung von S (da sich das System S' in diese Richtung bewegt), ihre x - Koordinate nimmt also mit der Zeit den Wert x = vt an.

dt´ berechnet dann Zeitdifferenzen in S´ für diese Uhr, sie misst die Eigenzeit der Uhr in S´.

Für die Eigenzeit schreibt man oft d (dt´ = d)

Die Eigenzeit wird in dem System gemessen, in dem die Uhr ruht.

Zeitdifferenzen

Eine größere Darstellung des Bildes

Begründung:

$\Delta t'=$ $t_2'-t_1'=$ $(t_2-t_1)\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}=$ $\Delta t \left(\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}\right)$

Übergang zu "infinitesimalen Differenzen" liefert die Behauptung.

Die Eigenzeit dt´ ist kleiner als die Zeit dt, die in S gemessen wird. Für den Beobachter in S bewegt sich die Uhr mit der Geschwindigkeit v, für einen Beobachter in S´ ruht die Uhr.

Hieraus resultiert die Aussage: bewegte Uhren gehen langsamer.

Längendifferenzen

$\Delta x'=$ $x_2'-x_1'=$ $\displaystyle \frac{(x_2-vt)-(x_1-vt)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=$ $\displaystyle \frac{(x_2-x_1)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=$ $\displaystyle \frac{\Delta x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$


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