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Mathematik 01 - Allgemeines zur Mathematik

Die Seite gibt eine Einführung in den Begriff der Unendlichkeit an Hand des Zahlensystems.
Es folgen Betrachtungen über das Universum, ein Überblick über die momentane Sicht der Welt.

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Konvergenz von Dezimalzahlen

Inhaltsverzeichnis

Meine Sichtweise der Mathematik

Mathematik kann nicht alle Probleme beweisen bzw. widerlegen, die sie formulieren kann. In dem Buch von Hofstätter (Goedel, Escher, Bach) findet man eine umfassende Darstellung dieser Problematik. Man kann auch direkt bei Goedel nachlesen.

Wir beurteilen den Wahrheitsgehalt eines Satzes nach der Aussage, die er formuliert. Die Aussage "2 ist groesser als 1" ist wahr, damit ist auch der Satz wahr.

Betrachten wir den Satz "dieser Satz ist falsch". Ist der Satz falsch, so beinhaltet er eine wahre Aussage, dann ist er aber wahr. Ist der Satz wahr, so ist die Aussage, die er formuliert, falsch, somit ist auch der Satz falsch.

Was können wir über den Barbier aussagen, "der alle Leute im Dorf rasiert, die sich selbst nicht rasieren" ?
Zählen wir ihn zu den Dorfbewohnern, so können wir nicht sagen, ob er sich rasiert oder nicht.

Rasiert sich der Barbier, so wird er nicht vom Barbier rasiert, denn der rasiert ja alle Leute im Dort, die sich selbst nicht rasieren. Rasiert er sich nicht selbst, so wird er vom Barbier rasiert.

Wie einfach ist dagegen die Aussage "ich mag keine Mathematik".


Betrachten wir den Satz "Gott ist allmächtig". Wenn Gott allmächtig ist, dann kann er einen Stein schaffen der so groß ist, dass er ihn selbst nicht heben kann. Aber ist er dann noch allmächtig? Ich kann nichts weiter dazu sagen.

Was sind nun die Probleme, die die Mathematik formulieren kann? "Einfache Aussagen" sind z.B. "das Quadrat über der Hypothenuse ist gleich der Summe der Kathetenquadrate". Komplizierter wird es, wenn wir sagen "dieses Problem kann mit einer Rechenmaschine nicht gelöst werden". Es gibt Fälle, wo man das beweisen kann. Das erspart dann unnütze Rechenzeit.

Im täglichen Leben kommen diese Probleme in der Regel nicht vor.

Ich weiß auch nicht, ob die oben angeführte Diskussion wichtig ist oder nicht. Man hört nur ab und zu davon.


Was mich an der Mathematik fasziniert ist der Begriff des Unendlichen und was man damit alles anstellen kann. Wahrscheinlich kommt es daher, dass ich nur über eine endliche Lebensspanne verfüge. Über diesen Begriff kann man Zahlen definieren:

Natürliche Zahlen

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(1,2,3,...)

Die Unendlichkeit drückt sich darin aus, dass man keine größte natürliche Zahl angegeben kann. Für jede natürliche Zahl kann man eine noch größere natürliche Zahl angeben, indem man z.B. ihren Zahlenwert um 1 erhöht. Natürliche Zahlen werden zum Abzählen verwendet.

Ganze Zahlen

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(...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...)

Sie bestehen aus den natürlichen Zahlen und den negativen natürlichen Zahlen und der Zahl 0.  Ein einfaches Anwendungsbeispiel ist das Thermometer, es zeigt positive und negative Temperaturwerte an. Allerdings will man sich nicht auf die Angabe ganzzahliger Werte beschränken, man kann damit z.B. einen Temperaturwert von -1,4 Grad Celsius nicht angeben.

Rationale Zahlen

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(...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...,-3/2,...,3/2,...-1,4,-1,3,...1,721,1,722,...)

sie beinhalten die "Brüche" und die ganzen Zahlen.
Sie ermöglichen die Angabe von Dezimalzahlen mit endlichen und periodischen Ziffernfolgen,
z.B. die Angabe von -1,4, +2,873, 1,99999999....

Brüche braucht man für kaufmännisches Rechnen.

Neben der Unendlichkeit im Großen findet man hier eine Unendlichkeit im Kleinen: man kann zwischen zwei rationale Zahlen unendlich viele rationale Zahlen einschieben.

Zwischen 1,4 und 1,5 lässt sich z.B. die Zahl 1,41 einschieben, zwischen 1,4 und 1,41 die Zahl 1,401...

Irrationale Zahlen

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Mit den endlichen oder periodischen Ziffernfolgen sind nicht alle möglichen Dezimaldarstellungen erfasst. Es fehlt noch die Darstellung mit nichtperiodischen Ziffernfolgen.

Ein einfaches Beispiel: 1,4041041104111041111... hat eine nicht periodischen Ziffernfolge.

Ob man nun mit jeder nichtperiodischen Zifferenfolge eine Zahl darstellen kann?
Vgl. mit dem Link: << Konvergenz von Dezimalzahlen >> in der Kopfzeile dieser Seite.

Es gibt nicht periodische Ziffernfolgen, durch die Zahlen darstellt werden: z.B. repräsentiert durch die Dezimaldarstellung der Zahl "Wurzel aus 2" oder der Zahl "Pi". Wurzel aus 2 und Pi sind irrationale Zahlen.

Irrationale Zahlen werden durch nicht periodische Ziffernfolgen beschrieben.

Für die "Wurzel aus 2" kann bewiesen werden, dass die Zahl irrational ist.

Einen Beweis für die Aussage, "die Wurzel aus p ist irrational, wenn p eine Primzahl ist", findet man auf der folgenden Seite.

Um alle Zahlen zu erfassen, reichen die unendlichen vielen rationalen Zahlen zwischen zwei rationalen Zahlen also nicht aus. Man benötigt zusätzlich die irrationalen Zahlen. Diese sind nur durch eine unendliche Ziffernfolge darstellbar.


Man betrachte Darstellungen der Form p/q, mit p und q als Folgen von Dezimalziffern.

Beispiel: p = 122340078, q = 22234353655

p/q stellt eine rationale Zahl dar. p ist der Zähler, q ist der Nenner.

Will man eine irrationale Zahl in dieser Form darstellen, so stellen sich folgende Forderungen an p und q:

(1) Wird p durch eine unendliche Ziffernfolge dargestellt, so muss auch q durch eine unendliche Ziffernfolge dargestellt werden, denn sonst wäre der Wert dieses Bruches unendlich.

Beispiel: 14104100410004100004.../1000 ergibt den "Wert" unendlich, wenn man sich den Zähler "unendlich fortgeschrieben" vorstellt.

(2) Wird q durch eine unendliche Ziffernfolge dargestellt, so muss auch p durch eine unendliche Ziffernfolge dargestellt werden, denn sonst wäre p/q = 0.

0 ist eine rationale Zahl.

Beispiel: 12345/10000.... ergibt Null, wenn man sich den Nenner mit unendlich vielen Nullen fortgesetzt denkt.

(3) Werden p und q durch endliche Ziffernfolgen dargestellt, so stellt p/q eine rationale Zahl dar.

Beispiel: p = 122340078, q = 22234353655

Folglich müssen p und q in der Darstellung p/q unendliche Ziffernfolgen sein, wenn sie eine irrationale Zahl darstellen sollen.

Beispiel: p = 14142... , q = 10000...
Die drei Punkte deuten an, dass unendlich viele Ziffern folgen.

p werde durch die Zifferenfolge dargestellt, durch die die Wurzel aus 2 definiert ist (ohne das Komma).

q muss dann "unendliche viele Nullen" beinhalten. Aber diese Formulierung ist nicht eindeutig. Wie will man damit z.B. 1,4142... unterscheiden von 14,142 ... ?

Der Ausdruck 1,4104100410004100004... beinhaltet ein einfaches Bildungsgesetz, hat aber eine nicht periodische unendliche Ziffernfolge. Dementsprechend sollte er eine irrationale Zahl darstellen (wenn man sich ihn unendlich fortgesetzt denkt).

Betrachtet man die Zifferndarstellung für die << Wurzel aus 2 >>: 1,4142..., so hat man eine nicht periodische unendliche Ziffernfolge, für die ein Bildungsgesetz existiert. Die Wurzel aus 2 ist irrational.

Aus der Wikipedia: << Wurzel aus 2 >> = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 und folgende


Reelle Zahlen

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(... -3,-2,-1, 0,1,2,3,...,-3/2,...,3/2,...-3,0,...,3,0,...,1,000724000724...,  -3,1345672346544...).
Sie beinhalten die rationalen und die irrationalen Zahlen.

Reelle Zahlen werden in der Infinitesimalrechnung (Analysis) benötigt. Sie ermöglichen die Darstellung eines Kontinuums.

Die Ziffernfolgen reeller Zahlen mit unendlichen, nicht periodischen Ziffernfolgen (die irrationalen Zahlen) können nie vollständig niedergeschrieben werden, trotzdem scheinen sie (zumindest in der Vorstellung) unabhängig davon zu existieren. Beispiele sind die Dezimaldarstellungen für die << Wurzel aus 2 >> und für die Zahl Pi. Man hat also eine Vorstellung von etwas Unendlichem, dessen einzelne Teile man aber nie vollständig erfassen kann. Es beinhaltet eine Aussage über Existenz: es existiert etwas, das man nicht kennt.

Aus dem Archimedischen Axiom kann man folgern:  zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl n, die größer als x ist.

Etwas anschaulich argumentiert:

Die reellen Zahlen vergrößern die "lineare Unendlichkeit" auf der Zahlengeraden nicht, sie füllen die Lücken zwischen den natürlichen Zahlen aus und zwar so, dass "nichts mehr dazwischen passt".

Genauer formuliert: jede konvergente Folge reeller Zahlen hat einen Konvergenzpunkt in der Menge der reellen Zahlen. In diesem Sinne ist das Kontinuum der reellen Zahlen abgeschlossen.

Für die rationalen Zahlen gilt diese Abgeschlossenheit nicht. So gibt es eine konvergente Folge rationaler Zahlen, die gegen die Wurzel aus 2 konvergiert. Aber die Wurzel aus 2 ist keine rationale Zahl.


Betrachtungen über das Universum

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Wie sieht es in der physikalischen Wirklichkeit aus? Die Naturgesetze sind oft mit Gesetzen formuliert, die sich mit reellen Zahlen beschreiben lassen. Von der Vorstellung her kann man Planeten, Sonnen und Galaxien abzählen. Man muss sich dabei auf bestimmte Konventionen einigen, z.B. die Festlegung, wann ein Haufen von Materie als Planet gezählt wird.

Wenn man das gesamte Universum erfassen will, gibt es weitere Probleme. Planeten, Sonnen und Galaxien entstehen und vergehen. Wenn nun z.B. der Begriff der Gleichzeitigkeit nicht auf das gesamte Universum angewendet werden kann, wie will man dann eine Aussage über die zu einem bestimmten Zeitpunkt vorhandenen Objekte finden können?

Kann das Abzählen von Objekten überhaupt erfolgen, ohne dass man dafür Zeit benötigt? Während der Zeit des Zählens ändert sich das Universum aber bereits wieder in seiner Zusammensetzung.

Ein wenig Science Fiction.

Bei Elementarteilchen gibt es Probleme mit der Unterscheidbarkeit. Atome lassen sich nicht so ohne weiteres numerieren und damit unterscheiden.
Raum und Zeit sind möglicherweise diskret, d.h. sie bestehen aus kleinsten Einheiten. Was ist der Grund für die nicht exakte Lokalisierbarkeit von Elementarteilchen? Liegt das vielleicht nur an den Messmethoden für nicht klassische Objekte? Die möglichen Werte der kinetischen Energie für freie Elementarteilchen scheinen ein Kontinuum darzustellen, und so lange Raum und Zeit nicht als diskret nachgewiesen sind, bewegen sie sich (in der Vorstellung) in einem Raum-Zeit-Kontinuum.

Einzelne reelle Zahlen lassen sich lokalisieren, in der geometrischen Vorstellung einer Zahlengeraden. Nur, wie sieht es mit benachbarten Zahlen aus? Eine reelle Zahl hat keinen Nachbarn. Hat man zwei reelle Zahlen bestimmt, die nicht gleich sind, so kann man unendlich viele reelle Zahlen dazwischenschieben. Überabzählbar unendlich viele.

Über die Größe des Universums gibt es unterschiedliche Aussagen. Es kann in sich geschlossen sein, dabei trotzdem unbegrenzt, mit endlichem Volumen und ausgestattet mit endlich vielen Materie-Teilchen? Diese Zusammensetzung ändert sich aber ständig. Elementarteilchen können erzeugt und vernichtet werden. Was sind hier die konstanten Größen?

Es könnten parallele Universen existieren, über deren Existenz und Anzahl nur spekuliert werden kann.

Vielleicht ist das Universum auch unendlich ausgedehnt, mit unendlich vielen Teilchen, die unendlich viele Strukturen bilden können. Und das alles mit den bekannten Naturgesetzen?

Emmy Noehter hat Zusammenhänge zwischen kontinuierlichen Symmetrietransformationen eines physikalischen Systems und physikalischen Erhaltungssätzen untersucht.


Komplexe Zahlen und hyperkomplexe Zahlen

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Man kann das Zahlensystem erweitern: komplexe Zahlen, hyperkomplexe Zahlen. Mit komplexen Zahlen kann man z.B. Strom-Spannungsverhältnisse beschreiben. Sie ermöglichen Darstellungen in der Ebene. Im Grunde vermitteln sie eine zweidimensionale Mathematik.

Die hyperkomplexen Zahlen haben ganz bestimmte Eigenschaften, die für Formulierungen in der Quantenmechanik wichtig sind (Dirac-Gleichung). Sie beschreiben mathematische Anforderungen an physikalische Problemstellungen, die man durch komplexe Zahlen nicht abdecken kann. Die Dirac Gleichung vermittelt eine relativistische Beschreibung von Elektronen mit Spin.

So ganz korrekt ist diese Darstellung nicht. Genau genommen wird die Dirac Gleichung mit Strukturen beschrieben, die sich isomorph auf die hyperkomplexen Zahlen abbilden lassen.

Im Grunde vermitteln die hyperkomplexen Zahlen eine vierdimensionale Beschreibung. Vierdimensionale Beschreibungen hat man auch in der speziellen Relativitätstheorie. Inwieweit die Beschreibungen sich aufeinander abbilden lassen, habe ich noch nicht untersucht

Es wäre natürlich reichlich vermessen, mit dieser kurzen Aufzählung die gesamte Mathematik erfassen zu wollen. Das ist auch nicht meine Absicht. Ich gebe nur einige Eindrücke wieder. Ein interessanter Bereich der Mathematik, den ich hier erwähnen möchte, ist die Differentialgeometrie. Sie ermöglicht eine Beschreibung krummliniger Flächen im Raum, und darüber hinaus die mathematische Beschreibung gekrümmter, dreidimensionaler Räume. Man kann den dabei verwendeten Formalismus benutzen, um die Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie zu beschreiben. Dabei wird das reelle Zahlensystem verwendet.

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