Definitionen und Sätze für den Minkowskiraum

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Der Minkowskiraum

Die nachfolgenden Definitionen und Sätze entstammen einer Vorlesungsmitschrift über den Minkowskiraum, Prof. Forster, LMU München, SoSe 1996

Ziel dieser Beschreibung ist eine Präzisierung von Begriffsbildungen im mathematischen Sinne.

Referenz auf Ausschnitte der Vorlesungsmitschrift

Referenz auf die Definition von Differentialformen für den Minkowskiraum

Eine vollständige Darstellung der Vorlesung ist mir nicht gelungen. Meine Seiten erfassen nur einige Teile, mit denen ich mich intensiver auseinandergesetzt habe.


Erläuterungen von Begriffen

Bilinearformen

Satz über Bilinearformen 01

Sei q : V -> K eine quadratische Form auf einem endlich dimensionalen Vektorraum V, dann gibt es stets eine Basis
a1,...,an von V, bzgl. der q folgende Gestalt hat:

d.h. die quadratische Form läßt sich auf Diagonalgestalt transformieren.

Bemerkung:
Für K = R kann man die Basis so wählen, dass qi {1,-1,0}

Sei q(v) entsprechend dem oben angegebenen Satz gewählt.
Unter diesen Bedingungen sei n+ := Anzahl der qi > 0, n- : = Anzahl der qi < 0, n0 := Anzahl der qi = 0

Dann gilt (Sylvesterscher Trägheitssatz)

Die Zahlen n+ , n- , n0 hängen nur von der quadratischen Form q, aber nicht von der speziellen Wahl der Basis ab

Beispiel:
Das Skalarprodukt <v,w> ist eine Bilinearform

etwas genauer definiert man:

Skalarprodukt

Sei V ein Vektorraum über K. Unter einem Skalarprodukt auf V versteht man eine nicht entartete, symmetrische Bilinearform
g : V x V -> V. Sei q: V -> K definiert durch q(v) := g(v,v). Dann heißt q die zugeordnete quadratische Form.

Signatur

Sei nun V ein reeller endlich dimensionaler Vektorraum V, g ein Skalarprodukt, q die zugeordnete quadratische Form und ihre Invarianten n+ , n- , n nach dem Sylvesterschen Trägheitssatz (s.o.) gewählt. Dann gilt n0 = 0, da g nicht entartet ist.
Man nennt (n+,n-) die Signatur von g.

Quadratische Formen

Eine quadratische Form auf V ist eine Abbildung q: V -> K derart, dass es eine Bilinearform  : V x V -> K gibt,
so dass q(v) = (v,v) für alle v  V

Lorentz-Metrik

Eine Lorentz-Metrik auf einem n-dimensionalen Vektorraum V (n  2) ist ein Skalarprodukt der Signatur (1,n-1).

Standard Lorentz-Metrik auf R1+m = R x Rm  : g(x,y) mit der zugeordneten quadratischen Form g(x,x):
 
x = (x0,x1,...,xm), y = (y0,y1,...,ym),