Volumen von Rotationskörpern

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Das Prinzip von Cavalieri





V ist das Volumen des Körpers

Nach dem Prinzip von Cavalieri berechnet sich das Volumen eines Körpers durch Integration über die Querschnittsflächen. Zur Präzisierung des Prinzips verweise ich auf das Buch von Kurt Endl/Wolfgang Luh, Analysis II.


Anwendung des Prinzips von Cavalieri

Berechnung des Volumens von Rotationskörpern

Der Graph der Funktion f(x) rotiere um die z-Achse,
Definitionsbereich von f sei das Intervall [a,b].

Die Querschnittsfläche (nach dem Prinzip von Cavalieri) berechnet sich zu  * f(x)2, denn f(x) ist der Radius des Rotationskreises an der Stelle x.

Insgesamt ergibt sich für das Volumen des Rotationskörpers:

Berechnung des Volumens einer Kugel

Betrachtet wird eine Einheitskugel vom Radius 1.
Der Ursprung der Kugel befindet sich im Nullpunkt eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems.
Der Schnittpunkt der Kugel mit der xy-Ebene ergibt einen Kreis vom Radius 1.
Die Gleichung des Kreises lautet $x^2+y^2=1$.

Hieraus ergibt sich

$y=\sqrt{1-x^2}$; $y=f(x)=\sqrt{1-x^2}$.

Die Rotation des Kreises um die x-Achse ergibt die Kugel.

Berechnung des Kugelvolumens nach dem Prinzip von Cavalieri:

$\displaystyle V=\int_{-1}^1 f(x)^2 dx= \frac{4}{3} \pi$.