Koordinaten­trans­formationen

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Diese Seite beschreibt die Anwendung von Koordinatentransformationen bei der Berechnung mehrdimensionaler Integrale.

Substitutionsregel für mehrdimensionale Integrale

Mehrdimensionale Integrale werden im zweidimensionalen und dreidimensionalen Fall bei der Flächenberechnung bzw. Volumenberechnung verwendet.

Berechnung zweidimensionaler Integrale

In dem Gebiet U R2 werden neue Koordinaten in der folgenden Weise eingeführt: es gibt ein Gebiet V in R2 und eine stetig differenzierbare Abbildung g: V -> U.

Punkte in U werden durch die Koordinaten (x,y) beschrieben, Punkte in V durch die Koordinaten (r,).
Die Funktionaldeterminante von g wird ungleich Null für alle Koordinaten vorausgesetzt.
dadurch ist die lokale Umkehrbarkeit der Funktion g gewährleistet

Das Flächenintegral über U läßt sich dann durch ein Integral über V ausdrücken:


Speziell ergibt sich für die Funktion g, die in der (x,y) - Ebene Polarkoordinaten (r,) einführt, folgendes:

Eine größere Darstellung des Bildes


Berechnung des Flächen­inhaltes eines Kreises vom Radius R


Bemerkung: eine Kreisfläche mit Radius R um den Punkt (0,0) läßt sich in Polarkoordinaten nicht eindeutig beschreiben, da z.B. der Punkt (0,0) beliebige Winkel zuläßt.

Ein weiteres Problem besteht in der Periodizität der Funktionen sin und cos. Man vermeidet die Probleme, indem man z.B. die positive reelle Zahlengerade aus der Definitionsmenge herausnimmt und alle Punkte der Ebene dann eindeutig mit Polar-Koordinaten
r > 0, 0 < < 2 beschreibt. Für die Berechnung der Integrale ergibt sich kein Unterschied, da das Riemann-Integral über
eine Gerade Null ergibt.


Die auftretenden Probleme können nicht vernachlässigt werden, wenn man z.B. über eine Funktion integriert, die im Punkt (0,0) singulär ist.

Man vergleiche hierzu die Berechnungen in der Elektrodynamik
für das Coulomb-Potential.


Bemerkung:
Zur Motivation der Polarkoordinaten vergleiche man die entsprechenden Abschnitte zur Funktionentheorie.
In dem einführenden Beispiel für Polarkoordinaten werden partielle Ableitungen verwendet. Das Symbol | | bezeichnet die Berechnung einer Determinante, es ist die Funktionaldeterminante der Funktion g.


Berechnungen für dreidimensionale Integrale

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Beispiel für die Berechnung des Voluments eines Rotationskörpers

Volumen­berechnung eines durch Rotation erzeugten Körpers

Bei der Berechnung werden Zylinderkoordinaten verwendet.


Die Substitutionsregel in ihrer allgemeinen Form

(nach Endl Luh, Analysis II)

Eine größere Darstellung des Bildes

Die im rechten Integral angegebene Funktionaldeterminante wird in allen Punkten des Integrationsbereiches als ungleich Null vorausgesetzt (eine Voraussetzung bei der Einführung "neuer Koordinaten")


Bemerkung: "kompakt" wird in den Kapiteln zur Topologie bzw. Differentialgeometrie beschrieben. R-meßbar ist eine Voraussetzung, damit die Integrale existieren, sie werden hier als Riemann-Integrale vorausgesetzt.  g-1(K) bezeichnet das Urbild von K, d.h. die Menge aller Elemente, die durch g auf K abgebildet werden.