Einbettung der reellen Zahlen in die Potenzmenge der natürlichen Zahlen

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Definitionen und Voraussetzungen

N bezeichne im folgenden die Menge der natürlichen Zahlen, R die Menge der reellen Zahlen, P(N) die Potenzmenge der natürlichen Zahlen.
P(N) ist die Menge aller Teilmengen von N.

Ich beschränke mich bei den nachfolgenden Überlegungen auf das Intervall [1,2].

Darstellung reeller Zahlen

Jede reelle Zahl r lässt sich im Intervall [1,2] folgendermaßen darstellen:

r = 1,a0a1a2a3... , mit Ziffern ai zwischen 0 und 9 (Dezimalzahldarstellung)
Die 3 Punkte deuten an, dass die Ziffernfolge unendlich fortgesetzt werden kann (sie kann aber auch endlich sein, oder nach endlichen vielen Ziffern folgen lauter Nullen)

Für rationale Zahlen ist die Ziffernfolge endlich oder periodisch.

Aussagen über reelle Zahlen

Für reelle Zahlen gibt es folgende bewiesene Aussagen:

Relle Zahlen lassen sich als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen rationaler Zahlen definieren (Kurt Endl/Wolfgang Luh - Analysis I).

Endl/Luh beweist folgende Sätze:

Satz 1

Sei X eine reelle Zahl und eps eine reelle Zahl, eps > 0. Dann gibt es eine rationale Zahl X´ mit |X - X´| < eps
Endl/Luh Band I: Satz 1.14.3

Satz 2

Jede reelle Zahl ist auf genau eine Art durch einen eigentlichen Dezimalbruch darstellbar.
(Endl/Luh Band I: Satz 1.16.3)

Dezimalbrüche

Ein Dezimalbruch wird nach Endl/Luh als "eigentlich" definiert, wenn er nicht die Periode 9 hat, d.h. ab einer bestimmten Ziffer kommen nur noch Neunen in der Dezimalzahldarstellung vor.
Dezimalbrüche entsprechen Darstellungen der Form r = 1, a0a1a2a3...

Dezimalzahldarstellung
und Dezimalbrüche werden auf dieser Web-Seite nicht unterschieden.

Die vorangehenden Aussagen gelten insbesondere für irrationale reelle Zahlen.

Erläuterungen zu Satz 1 und Satz 2

Satz 1 anders formuliert: eine irrationale reelle Zahl X lässt sich beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren.
Man kann eine Folge rationaler Zahl Xn bestimmen, die gegen die Zahl X konvergiert.

Satz 2 besagt für irrationale Zahlen, dass die Darstellung r = 1, a0a1a2a3... eindeutig ist.

Abbildung der reellen Zahlen in die Potenzmenge der natürlichen Zahlen

Einer reellen Zahl r = 1,a0a1a2a3...ordne ich eine Teilmenge rN der natürlichen Zahlen zu,  rN := {1, 1a0,1a0a1,1a0a1a2, 1a0a1a2a3,...}, rN ist ein Element der Potenzmenge von N,P(N).

Definition einer Abbildung fT : P(N) -> R

Der Definitionsbereich von fT sei die Menge R(N) := {rN | rN sei in der Form{1, 1a0,1a0a1, 1a0a1a2,1a0a1a2a3,...} darstellbar, mit beliebigen Ziffern ai zwischen 0 und 9}

fT : R(N) -> R, rN = {1, 1a0,1a0a1,1a0a1a2, 1a0a1a2a3,...} -> r = 1,a0a1a2a3...

Beispiele 01

Die Ziffernfolge 1,4142... definiert eine reelle Zahl (die Wurzel aus 2).
Das zugeordnete Element der Potenzmenge der natürlichen Zahlen sähe dann folgendermaßen aus: {1,14,141,14142,...}

Beispiel 02

Die Ziffernfolge 1,4999... definiert eine rationale Zahl, 1,5.
Das zugeordnete Element der Potenzmenge der natürlichen Zahlen sähe dann folgendermaßen aus: {1,14,149,1499,...}
für 1,5 gibt es aber auch die Darstellung 1,50000...
Das zugeordnete Element der Potenzmenge der natürlichen Zahlen sähe dann folgendermaßen aus: {1,15,150,1500,...} , oder einfach nur {1,15}
Die Elemente {1,14,149,1499,...}, {1,15,150,1500,...} und {1,15} aus P(N) sind verschieden.

Beispiel 03

Die Ziffernfolge 1,003007 definiert eine rationale Zahl
Ein zugeordnete Element der Potenzmenge der natürlichen Zahlen könnte dann folgendermaßen aussehen: {1,10,100,1003,10030,100300,1003007}

Beispiel 04

1,999999... entspricht der Zahl 2, das zugeordnete Element aus P(N): {1,19,199,1999...}

Beispiel 05

1,0 entspricht der Zahl 1, das zugeordnete Element aus P(N): {1,10}, aber auch {1,10,100,1000 ...}

Erläuterung zu den Beispielen

Die Beispiele zeigen, dass die Abbildung fT : R(N) -> [1,2], rN -> r, surjektiv, aber nicht injektiv ist.
R(N) ist eine echte Teilmenge von P(N).

Warum das alles so kompliziert?

das Ganze ist ein Versuch, die reellen Zahlen injektiv in die Potenmenge der natürlichen Zahlen einzubetten. Das Problem für mich, wie stelle ich eine unendliche Ziffernfolge als Teilmenge der natürlichen Zahlen dar? Als Beispiel dient die Zifferndarstellung von "Wurzel 2" = 1,4142....

Die Darstellung {14142...} macht keinen Sinn, da in der Mengenklammer eine unendlich große natürlich Zahl stehen würde. Die Darstellung {1,14,141,1414,14142,...} ist dagegen eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, wenn man das Bildungsgesetz für die Wurzel aus 2 zugrundelegt, es bestimmt jedes einzelne Element dieser Menge.

Aus Satz 2 folgt, dass die Zifferndarstellung für eine irrationale reelle Zahl eindeutig ist, denn irrationale Zahlen haben keine 9er Periode. Damit könnte man zumindest die irrationalen Zahlen aus dem reellen Zahlenintervall [1,2] in der angegebenen Weise injektiv auf eine Teilmenge von P(N) abbilden.

Folgende Aussagen setze ich voraus: Die Mächtigkeit der irrationalen Zahlen im Intervall [1,2] ist gleich der Mächtigkeit der reellen Zahlen im Intervall [1,2]. Ein reelles Zahlenintervall hat die Mächtigkeit der reellen Zahlen.

Damit lassen sich die reellen Zahlen in die Potenzmenge von N einbetten. Darüber hinaus enthält sie weitere Elemente.

Ob die Potenzmenge von N eine größere Mächtigkeit als die Menge der reellen Zahlen hat, kann man aus dem Beweis nicht schließen. Man kann z.B. die natürlichen Zahlen injektiv in eine Teilmenge der rationalen Zahlen einbetten. Trotzdem hat die Menge der rationalen Zahlen keine größere Mächtigkeit als die Menge der natürlichen Zahlen.
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