Primzahlen

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Die Seite führt einen anschaulichen Beweis, dass keine größte Primzahl existiert.


Es gibt keine größte Primzahl

Ziel der nachfolgenden Überlegungen ist ein Beweis der Aussage: es gibt keine größte Primzahl.

Ich betrachte folgende aufsteigende Folge von Primzahlen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

und konstruiere hieraus die Zahl

2 + 3 * 5 * 7 *11 * 13 * 17 * 19 = 4849847, ist das Ergebnis eine Primzahl?

es gilt ja folgendes:

2 + 3 = 5 ist eine Primzahl.

2 + 3 * 5 = 17 ist eine Primzahl.

2 + 3 * 5 * 7 = 107 ist eine Primzahl.

...

Die Idee ist folgende.

Die Zahl 2 + 3 * 5 * 7 *11 * 13 * 17 * 19 ist nicht durch 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 teilbar.

Dann ist auch  das Ergebnis 4849847 nicht durch 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 teilbar.

Die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 bilden eine Folge aufsteigender Primzahl, zwischen denen es keine weiteren Primzahlen gibt.

Wenn die Zahl 4849847 aber nicht durch 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 teilbar ist, und wenn sie keine Primzahl ist,
dann gibt es eine Zerlegung der Form 4849847 = X * Y, mit Zahlen X und Y, die kleiner als 4849847 sind.

Die Zahlen X und Y sind aber auch nicht durch 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 teilbar, denn sonst wäre das Produkt X * Y durch mindesten eine der Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19  teilbar,
das ist aber nach Konstruktion der Zahl 4849847 nicht möglich.

Wenn die Zahl 4849847 nun selbst keine Primzahl ist, und auch X und Y keine Primzahlen sind, dann kann man X und Y auch  wieder in Faktoren von Zahlen zerlegen und die vorangehende Argumentation lässt sich auf die neuen Faktoren anwenden.

Falls man bei diesen Zerlegungen niemals auf eine Primzahl stößt, so terminieren sie nicht, d.h. sie lassen sich unendlich oft durchführen. Das macht aber keinen Sinn, da die Zahl 4849847 eine endliche Zahl ist.

Man kann bei diesen Zerlegungen auch auf keine Primzahl stoßen, die in der Menge {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} enthalten ist, also ist 4849847 entweder selbst eine Primzahl oder es lässt sich eine Produktzerlegung der Form 4849847= X1 * ... * Xfinden, die mindestens eine Primzahl Xk enthält, die größer als 19 ist.

Ich vermute, dass alle Faktoren einer eventuell vorhandenen Produktzerlegung sich so bestimmten lassen, dass sie Primzahlen größer als 19 sind.

Betrachten wir nun die kleinste Primzahl, die größer als 19 ist. Es ist die 23.

Die gleiche Argumentation auf das Produkt 2 + 3 * 5 * 7 *11 * 13 * 17 * 19 * 23 = 111546437 angewendet ergibt, dass es eine Primzahl größer als 23 geben muss.

Ob nun 111546437 selbst eine Primzahl ist? 7, 17, 37, 117 sind Primzahlen, aber 27 ist keine Primzahl: 27 = 3 * 9. Also die 7 an der letzten Stelle bestimmt nicht, ob eine Zahl eine Primzahl ist.

Man kann diesen Beweis formal so erweitern, dass die Aussage, "es gibt keine größte Primzahl", damit bewiesen werden kann.

Dazu nehme ich an, es gäbe eine größte Primzahl PN und ordnet alle Primzahlen der Größe nach an: P1 < P2 < ... < PN

Dabei ist P1 = 2, P2 = 3 ....

Die Summe P1 + (P2 * ... * PN) ist dann eine Zahl, die nicht durch die Primzahlen P1 bis PN teilbar ist.

Entsprechend der vorangehenden Argumentation kann man schließen, dass P1 + (P2 * ... * PN) selbst eine Primzahl ist oder dass es eine Produktzerlegung der Form
P1 + (P2 * ... * PN) = X1 * .... * Xk gibt, die mindestens eine Primzahl Xi enthält, die größer als PN sein muss.

Vermutung: falls eine solche Produktzerlegung existiert, lässt sie sich so bestimmen, dass alle Faktoren Primzahlen sind, die größer als PN sind.

2 + (3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41) = 152125131763607. Ist 152125131763607 eine Primzahl?

2+(3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71) = 278970415063349480483707697
Ist 278970415063349480483707697 eine Primzahl?