Übungen Analysis I a für Mobilgeräte

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Aufgabe 3 b

Eine größere Darstellung des Bildes


Übersetzung ins Englische

English translation of the textual parts

Exercise 3 (b)
A recursive algorithm to calculate the value of the "square root of 2"
...

Show, that the sequence {xn} converges against the "square root of 2". Give a approximation for the "square root of 2", so that the failure is less than 10-4.


Note:
Using the assumption that the sequence {xn} converges against a limit x, the following formula is valid:
... and it follows ...

Solution of the exercise:
...


Lösung von Aufgabe 3b

Hierbei beziehe mich auf das vorangehende Bild.

Bildet man den Grenzübergang n ->  so folgt: xn -> 

Näherung


Englische Übersetzung

I relate to the foregoing image.

For n ->  it follows xn -> 

Approximation:
...


Weiter im Beweis

Eine größere Darstellung des Bildes

Eine größere Darstellung des Bildes


Vermutung: Zähler und Nenner in den angegebenen Quotienten wachsen unbegrenzt, je mehr sich xn der  annähert. In den angebenen Beispielen ist der Zähler eine Primzahl (bei 577 bin ich mir nicht so ganz sicher). 
Ist das immer so? (9/4 ist z.B. eine teilerfremde Darstellung einer rationalen Zahl und 9 ist keine Primzahl, vgl. Aufgabe 1).
Würden Zähler und Nenner nur jeweils bis zu einer bestimmten größten Zahl anwachsen, dann wäre  eine rationale Zahl. Würde nur der Zähler bis zu einer bestimmten größten Zahl anwachsen, dann würde der Nenner "davonlaufen", das Endergebnis wäre die Zahl 0. Würde nur der Nenner bis zu einer größten Zahl anwachsen, dann würde der Zähler "davonlaufen", das Ergebnis wäre  . In diesem Sinne ist  niemals vollständig beschreibbar, da die Angabe unendlich großer Zahlen für Zähler und Nenner nicht möglich ist. Auch würde deren Berechnung mit realen Maschinen unendlich viel Zeit erfordern. Trotzdem hat  eine geometrische Bedeutung, die Zahl beschreibt die Länge der Diagonale im Einheitsquadrat.

Nebenrechnungen:

(1) man verwendet die Abschätzung:  für alle natürlichen Zahlen n

Hieraus folgt direkt durch Rechnung  (siehe oben. "Lösung der Aufgabe")

Des weiteren werden in der "Lösung der Aufgabe" folgende Aussagen verwendet, die noch genauer zu untersuchen sind:

(2) 

(3) 

(4) 

zu (1)

Eine größere Darstellung des Bildes

Für n = 1 wurde definiert: x1 = 1
Damit gilt  für alle natürlichen Zahlen n


Anmerkung: xn+1 2 würde auch gelten, wenn xn+1     - wäre. Nach Definition der Folge {xn} sind aber alle Folgenglieder xn > 0.
Daher folgt aus xn+1 2, dass xn+1    ist.
Beweisskizze, dass alle Folgenglieder größer als 0 sind:
Es ist x1 = 1 > 0. Falls für eine natürliche Zahl n > 0 die Zahl xn > 0 ist, folgt 2/xn > 0, xn + 2/xn > 0, (1/2)*(xn + 2/xn) > 0,
d.h. es ist auch xn+1 > 0.

zu (2)
Beweis durch vollständige Induktion

Es ist zu beweisen:



Der Induktionsanfang verwendet die  Definition 
x1 = 1 und die oben bewiesene Abschätzung 


aus der Abschätzung folgt


dabei gilt x1 = 1

Es ist zu zeigen:


Zusammen mit

und x1 = 1
folgt dann der Induktionsanfang

Beweis:


also liegt zwischen 1 und 1,5

hieraus folgt


Behauptung:



Induktions­anfang: n = 1: 

Eine größere Darstellung des Bildes

Induktions­voraussetzung:

für
Induktions­schritt:

Eine größere Darstellung des Bildes

Die erste Abschätzung

wurde weiter oben gezeigt. Bei der zweiten Abschätzung
,
wurde die Induktions­voraussetzung eingesetzt:

Ergebnis:

Aus der Voraussetzung, die Behauptung gilt für eine natürliche Zahl , folgt, die Behauptung gilt auch für n + 1

Damit gilt die Behauptung für alle natürlichen Zahlen n, die größer oder gleich 2 sind.

zu (3)
Beweis durch vollständige Induktion
Behauptung:



Induktions­anfang: n = 1: 

Induktions­voraussetzung:
Induktions­schritt:

Eine größere Darstellung des Bildes

Damit gilt die Behauptung auch für n + 1, wenn sie für n gilt


zu (4)
Beweis durch vollständige Induktion
Behauptung:
Induktions­ansfang: n = 1: 


Induktions­voraussetzung:
für
=> 2n - 1  2n - 1

Induktions­schritt:

aus der Induktions­voraussetzung folgt:

Eine größere Darstellung des Bildes

Damit gilt die Behauptung auch für n + 1, wenn sie für n gilt


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