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Umkehrfunktionen

Allgemeine Beschreibung der Existenz von Umkehrfunktionen mit Beispielen.
Graphische Darstellung von Umkehrfunktionen der Funktionen y = x2 und y = sin(x).


Allgemeines zu den Umkehrfunktionen

Im folgenden werden Funktionen betrachtet, die reelle Zahlen auf reelle Zahlen abbilden, d.h. Definitionsbereiche und Wertebereiche der Funktionen sind reelle Zahlen.

Eine Umkehrfunktion ist definiert, wenn eine Funktion in ihrem Definitionsbereich streng monoton ist. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist dann gleich dem Wertebereich der Funktion.
Eine Funktion ist streng monoton, wenn sie entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist.

Bemerkung: Anstelle von "steigend" wird auch der Begriff "wachsend" verwendet.

Vereinbarung: Im folgenden werden Funktionen betrachtet, die auf ihrem Definitionsbereich stetig differenzierbar sind. Dadurch ist insbesondere die Existenz der ersten Ableitungen garantiert.

Zum Nachweis der strengen Monotonie betrachte man die erste Ableitung der Funktion.

Ist die erste Ableitung einer Funktion in einer offenen, zusammenhängenden Teilmenge ihres Definitionsbereiches größer als 0, so ist die Funktion dort streng monoton wachsend. Offene, zusammenhängende Teilmengen reeller Zahlen sind die offenen Intervalle.

Ich beziehe mich auf offene, zusammenhängende Teilmengen reeller Zahlen, da z.B. die Tangensfunktion in ihrem Definitionsbereich nicht streng monoton ist, aber in den offenen Intervallen, in denen sie definiert ist und keine Definitionslücken hat. Die Eigenschaften der Tangensfunktion wiederholen sich periodisch in diesen Intervallen. Es gibt also Teilmengen des Definitionsbereiches der Tangensfunktion, in denen die erste Ableitung der Tangensfunktion größer als Null ist, in denen sie aber nicht streng monoton wächst.

Für nicht offene Intervalle ist die Differenzierbarkeit an den Randpunkten nicht gegeben.


Umkehrfunktionen von y = x2

Man betrachte als Beispiel die Funktion y = x2. Die Ableitung dieser Funktion ist y' = 2x.
Es gilt y' = 2x > 0 für alle reellen Zahlen x > 0.

Dementsprechend ist die Funktion y = x2 streng monoton wachsend für x > 0.
Die Umkehrfunktion lautet für diesen Bereich

wurzel_x

Ist die erste Ableitung einer Funktion in einer Teilmenge ihres Definitionsbereiches kleiner als 0, so ist die Funktion dort streng monoton fallend.

Für die Funktion y = x2 ist die erste Ableitung y' = 2x. Es gilt y' = 2x < 0 für alle reellen Zahlen x < 0.

Dementsprechend ist die Funktion y = x2 streng monoton fallend für x < 0.
Die Umkehrfunktion lautet für diesen Bereich
minus_wurzel_x

Umkehrfunktionen für y = sin(x)

Die Funktion y = sin(x) ist streng monoton wachsend auf dem Intervall
 

Abbildung 1: Graph der Funktion y = sin(x)


Eine größere Darstellung des Bildes
Daher existiert für diesen Bereich eine Umkehrfunktion. Sie wird als arcsin oder asin bezeichnet.

Abbildung 2: Graphen der Funktionen y = sin(x) und y = arcsin(x)


Eine größere Darstellung des Bildes
Die Funktion arcsin ist nur auf dem Intervall [-1,1] definiert.

Für weitere stückweise monotone Teile des Sinus kann man ebenfalls Umkehrfunktionen definieren.

Abbildung 3: Stückweise definierte Umkehrfunktionen des Sinus
stückweise definierte umkehrfunktionen des sinus

Eine größere Darstellung des Bildes und das ganze noch weiter fortgesetzt

stückweise definierte umkehrfunktionen des sinus

Eine größere Darstellung des Bildes
Die Umkehrfunktionen des Sinus entstehen durch Spiegelung an der Geraden y = x.
 
Die Abbildungen wurden mit dem Mathe-Tool GeoGebra erzeugt.

Referenzen

Umkehrfunktionen

Verweist auf die Darstellungen in Mediawiki 02

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