Umkehrfunktionen

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Allgemeines zu den Umkehrfunktionen

Eine Umkehrfunktion ist definiert, wenn eine Funktion in ihrem Definitionsbereich streng monoton ist. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist dann gleich dem Wertebereich der Funktion.
Eine Funktion ist streng monoton, wenn sie entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist.

Bemerkung: Anstelle von "steigend" wird auch der Begriff "wachsend" verwendet.

Vereinbarung: Im folgenden werden Funktionen betrachtet, die auf ihrem Definitionsbereich stetig differenzierbar sind. Dadurch ist insbesondere die Existenz der ersten Ableitungen garantiert.

Zum Nachweis der strengen Monotonie betrachte man die erste Ableitung der Funktion.

Ist die erste Ableitung einer Funktion in einer Teilmenge ihres Defintionsbereiches größer als 0, so ist die Funktion dort streng monoton wachsend.

Man betrachte als Beispiel die Funktion y = x2. Die Ableitung dieser Funktion ist y' = 2x.
Es gilt y' = 2x > 0 für alle reellen Zahlen x > 0.

Dementsprechend ist die Funktion y = x2 streng monoton wachsend für x > 0.
Die Umkehrfunktion lautet für diesen Bereich


Ist die erste Ableitung einer Funktion in einer Teilmenge ihres Definitionsbereiches kleiner als 0, so ist die Funktion dort streng monoton fallend.

Für die Funktion y = x2 ist die erste Ableitung y' = 2x. Es gilt y' = 2x < 0 für alle reellen Zahlen x < 0.

Dementsprechend ist die Funktion y = x2 streng monoton fallend für x < 0.
Die Umkehrfunktion lautet für diesen Bereich


Umkehrfunktionen für y = sin(x)

Die Funktion y = sin(x) ist streng monoton wachsend auf dem Intervall
 

Abbildung 1: Graph der Funktion y = sin(x)

Eine größere Darstellung des Bildes

Daher existiert für diesen Bereich eine Umkehrfunktion. Sie wird als arcsin oder asin bezeichnet.

Abbildung 2: Graphen der Funktionen y = sin(x) und y = arcsin(x)

Eine größere Darstellung des Bildes

Die Funktion arcsin ist nur auf dem Intervall [-1,1] definiert.

Für weitere stückweise monotone Teile des Sinus kann man ebenfalls Umkehrfunktionen definieren.

Abbildung 3: Stückweise definierte Umkehrfunktionen des Sinus
stückweise definierte umkehrfunktionen des sinus

Eine größere Darstellung des Bildes

und das ganze noch weiter fortgesetzt

stückweise definierte umkehrfunktionen des sinus

Eine größere Darstellung des Bildes

Die Umkehrfunktionen des Sinus entstehen durch Spiegelung an der Geraden y = x.
 
Die Abbildungen wurden mit dem Mathe-Tool GeoGebra erzeugt.

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