Unendlichkeit 02

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Es gibt eine Unendlichkeit im Großen und eine Unendlichkeit im Kleinen. Zumindest in der Vorstellung.

Unendlichkeit im Großen

Über das Universum weiß man bis heute nicht, ob es in den 3 räumlichen Dimensionen unendlich ausgedehnt ist.

Wenn es unendlich ausgedehnt ist, vielleicht wiederholt sich die Struktur des Universum, nach einer gewissen Entfernung.

Oder nach einer gewissen Zeit?

Also irgendwo irgendwann?

Letzteres wäre z.B. denkbar, wenn nach einer Expansionsphase wieder eine Kontraktionsphase folgt.

Ob eine Umkehrung der Expansion zu einer Umkehrung der Zeitrichtung führt, ist ungewiss.

Daran glaube ich nicht. Und ich stelle gerne Fragen.

Kann man Raum und Zeit als eine Einheit betrachten, die sich wiederholen kann?

Wenn einem unendlich ausgedehnten Raum nur eine endliche Anzahl verschiedener Elementarteilchen zugrundeliegen, dann gibt es auch nur endlich viele Kombinationsmöglichkeiten, daraus Materie und Strukturen zu bilden.

In einem unendlich ausgedehnten Raum mit homogen verteilter Materie, die so beschaffen ist, wie wir es kennen, wäre dann eine Wiederholung vorstellbar?

Unter dem Einfluss der Gravitation kann die Materie nach einem Urknall "Klumpen" bilden, Strukturen, wie wir sie kennen: Galaxien, Haufen von Galaxien, Superhaufen.

In meiner Diplomarbeit Physik habe ich mich mit dieser Thematik beschäftigt. Auf der Linkseite habe ich Referenzen eingefügt

Aber das Wissen über kosmologische Zusammenhänge ist auch beschränkt. Es gibt undefinierte Begriffe wie "dunkle Energie", "dunkle Materie". Dennoch scheinen auch in großen Entfernungen, d.h. in Entfernungen, die sich in Milliarden von Lichtjahren ausdrücken, ähnliche Dinge vorhanden zu sein, wie wir von der Umgebung der Erde her kennen.

Der Raum muss nicht zwangsläufig linear ins Unendliche reichen, nach Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie könnte er Krümmungseigenschaften aufweisen. Im Extremfall wäre die Raumkrümmung in sich geschlossen. Ein dreidimensionales Raumschiff könnte möglicherweiser dennoch unbegrenzt "geradeaus" fliegen, nach einer gewissen Entfernung würde es an seinen Ausgangspunkt zurückkehren, die kosmischen Strukturen würden sich scheinbar wiederholen.

An dem möglichen Szenario Umkehrung der Expansion sind inzwischen Zweifel aufgetaucht.

Der sogenannte Endknall scheint das Universum auseinanderreißen zu wollen. Dann gibt es keine Wiederholung. Bleiben am Ende nur noch die Elementarteilchen übrig?

Es gibt in der Mathematik Vorstellungen von Unendlichkeiten, die sich nicht wiederholen. Denken wir z.B. an die Zahl Pi. Sie lässt sich durch eine unendliche Folge von Dezimalziffern beschreiben, ohne dass es dabei zu einer periodischen Wiederholung der Ziffernfolge kommt. Dennoch scheinen alle diese Ziffern zu existieren, unabhängig davon, ob wir sie nun berechnet haben oder nicht. Da die Ziffernfolge unendlich ist, sind alle Ziffern der Zahl Pi in endlicher Zeit grundsätzlich nicht berechenbar. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Berechnung einer Ziffer Zeit benötigt. Ob sie in unendlicher Zeit berechenbar sind, ist ein anderes Problem. Ob sich solche Vorstellungen des Unendlichen auch in der physikalischen Realität wiederfinden, ich weiß es nicht.

Pi

Pi = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058231974944 5923078164062862088214808651328230664709384460955058223
(aus dem Lied "Pi" von Kate Bush)

Dies ist eine festgelegte Form der Unendlichkeit, die wir in ihrer Vollständigkeit nicht kennen, die es aber von der Vorstellung her gibt.
Die Zahl Pi beschreibt eine irrationale Zahl. Auch durch die Wurzel aus 2 wird eine irrationale Zahl beschrieben. Die Menge aller irrationalen Zahlen ist überabzählbar.

Mengen mit abzählbar unendlich vielen Elementen

Betrachten wir als Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen: {1,2,3,4,5,6,...}. Die drei Punkte deuten an, dass es sich um eine unendliche Menge handelt, die alle natürlichen Zahlen enthält, also z.B. auch die Zahl 4555566677777 und die Zahl 103000000000000001.

In diesem Fall ist die Abzählbarkeit der Menge sehr einfach zu sehen, jede natürliche Zahl ist sich selbst zugeordnet.

Was aber ist z.B. mit der Menge {1,4,9,16,...}, bestehend aus den Quadratzahlen der natürlichen Zahlen?
Man kann die Quadratzahlen abzählen, wenn man jeder Quadratzahl n2 eine natürliche Zahl n zuordnet, also der Quadratzahl 9 die natürliche Zahl 3, der Quadratzahl 25 die natürliche Zahl 5 ...

Die Menge {1,2,3,4,5,6,...} ist abzählbar, die Menge {1,4,9,16,...} ist abzählbar, beide Mengen enthalten unendlich viele Elemente. In der Menge {1,4,9,16,...} wird man aber z.B. vergeblich die Zahl 3 suchen.  Man kann aus der Menge {1,2,3,4,5,6,...} unendlich viele natürliche Zahlen wegnehmen, so dass die Menge {1,4,9,16,...} übrigbleibt, und trotzdem enthält sie noch unendlich viele Elemente, sogar abzählbar unendlich viele.

Mengen mit überabzählbar vielen Elementen

Noch schwieriger wird es mit der überabzählbaren Menge der reellen Zahlen. Egal, wie man zählt, man wird niemals alle reellen Zahlen "erwischen", selbst wenn man "unendlich oft" zählen würde. Man kann z.B. aber alle rationalen Zahlen abzählen, d.h. alle Brüche. Von den nicht rationalen reellen Zahlen weiß man eigentlich nur, dass sie existieren. Die nicht rationalen reellen Zahlen heißen irrationale Zahlen.
Von einigen hat man eine geometrische Vorstellung (z.B. Länge der Diagonalen im Einheitsquadrat, Wurzel aus 2), von anderen weiß man, dass sie in einem Zahlen-Verhältnis vorkommen (z.B. Kreisumfang zu Radius, die Zahl Pi).

Lassen sich einzelne irrationalen Zahlen, wie z.B. Pi oder die Wurzel aus 2, durch das Abzählen ihrer unendlichen Ziffernfolgen "erreichen"? Diese Ziffernfolgen sind nicht periodisch, man weiß also nicht, was z.B. an der "Stelle 10 hoch 10 hoch 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000!" für eine Ziffer vorkommt (soweit ich informiert bin). Im Prinzip kann man diese Ziffer aber berechnen (wenn man die dafür benötigte Zeit vernachlässigen könnte).

Zwischen der Unendlichkeit bzw. Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen und der Unendlichkeit der Menge der natürlichen Zahlen scheint es keine weiteren Unendlichkeiten zu geben.

Eine noch größere Unendlichkeit erhält man, wenn man die Potenzmenge der reellen Zahlen betrachte

Potenzmengen

Eine Potenzmenge ist per Definition die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge. Insbesondere enthält sie alle einelementigen Teilmengen der ursprünglichen Menge. Es gibt keine Abbildung, die alle Elemente der ursprünglichen Menge auf alle Elemente der Potenzmenge abbilden könnte, die Potenzmenge enthält "mehr" Elemente als die ursprüngliche Menge. Das gilt auch für Mengen mit unendlich vielen Elementen.

Link: Ein Beweis hierzu.

Beispiel 01
Man betrachte die Menge A: ={0,1,2}. Die Potenzmenge P(A) von {0,1,2} ist die Menge P(A) = {{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},{}}, sie beinhaltet 23 Elemente.
{} bezeichnet die leere Menge. Man sieht unmittelbar: P(A) enthält mehr Elemente als A. Diese Eigenschaft gilt auch für Mengen mit unendlich vielen Elementen, dabei wird der Begriff "Anzahl der Elemente" durch den Begriff "Mächtigkeit der Menge" ersetzt.

Mengen mit unendlich vielen Elementen

Beispiel 02
Ein Beispiel für eine Menge mit unendlich vielen Elementen ist die Menge der natürlichen Zahlen.
N
:= {1,2,3,4,5,6,7...}. Die drei Punkte symbolisieren  die Unendlichkeit der Menge N, die Menge N enthält alle natürlichen Zahlen.
Das sprengt bereits unsere Vorstellung. Unendlich viele natürliche Zahlen können wir uns nicht vorstellen. Wir wissen nur, zu jeder natürlichen Zahl n gibt es einen Nachfolger n + 1, d.h. eine noch größere natürliche Zahl.

Mächtigkeit

Man spricht jetzt nicht mehr von der Anzahl der Elemente, sondern von der Mächtigkeit der Menge. Die Menge N enthält abzählbar viele Elemente. Abzählbar heißt, man kann die Elemente numerieren, z.B. mit 1,2,3,4,5,6,7,...

Die Menge N hat die gleiche Mächtigkeit wie die Menge der geraden natürlichen Zahlen: {2,4,5,8,10,12,14,...}. Die Begründung hierfür ist, die geraden natürlichen Zahlen lassen sich abzählen, z.B. durch die folgende Abbildung: 1 -> 2, 2 -> 4, 3 -> 6 ... n -> 2*n.

Man kann also aus einer Menge mit unendlich vielen Elementen unendlich viele Elemente herausnehmen, und sie kann dann immer noch unendlich viele Elemente enthalten.

Potenzmenge der ntürlichen Zahlen

Die Potenzmenge P(N) von N enthält alle Teilmengen der natürlichen Zahlen, P(N) = {{1},{2},....{1,2},{1,3},...}

In der mathematischen Fachliteratur wird angenommen, dass die Potenzmenge der natürlichen Zahlen die Mächtigkeit der reellen Zahlen  hat, d.h. jede reelle Zahl lässt sich eineindeutig auf ein Element der Potenzmenge der natürlichen Zahlen abbilden.

Abzählbare und überabzählbare unendliche Mengen

Es wurde bewiesen, dass die Menge der reellen Zahlen R nicht abzählbar ist, sie wird als überabzählbar bezeichnet.  Damit hat sie auch eine größere Mächtigkeit als die Menge der natürlichen Zahlen, d.h. jeder Versuch, die reellen Zahlen zu numerieren, muss scheitern. Er wird nur einen Teil der reellen Zahlen erfassen.

Man kann zeigen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist.

Damit gibt es im Zahlensystem 2 bekannte Arten der Unendlichkeit, abzählbare und überabzählbare Mengen.

Noch größere Unendlichkeiten

Bildet man nun die Potenzmenge der reellen Zahlen, P(R), so erhält man eine Menge mit noch größerer Mächtigkeit.

Dieses Verfahren kann man fortsetzen: die Potenzmenge der Potenzmenge der reellen Zahlen hat eine noch größere Mächtigkeit, ad infinitum.

Man kann auf diese Weise eine Folge von Unendlichkeiten definieren.

Welche Bedeutung diese Unendlichkeiten haben, vermag ich allerdings nicht zu sagen.

Ein Problem mit dem Begriff der Potenzmenge

Man betrachte einmal die Menge MP aller Potenzmengen, die man auf diese Weise bilden kann. Also (1) beginnend mit den natürlichen Zahlen (2) die Potenzmenge der natürlichen Zahlen (gleichmächtig zu den reellen Zahlen) (3) die Potenzmenge der Potenzmenge der natürlichen Zahlen u.s.w.

Diese Menge enthält unendlich viele Elemente.

Frage: die Potenzmenge P(MP) von MP, ist sie in MP enthalten?

Das kann nicht sein, denn P(MP) hat eine größere Mächtigkeit als MP. Andererseits besagt die Definition von MP, dass die Potenzmenge von MP dort enthalten sein muss (?)

In diesem Sinne ist MP vielleicht etwas dynamisches, das sich begrifflich gar nicht fixieren lässt. Nur so ein Gedanke. Mit Fachliteratur zu dieser Problematik habe ich mich bisher nicht beschäftigt.

Für die Fantasiewelt der Arianne würde das bedeuten, dass sich Arianne als Wesen gar nicht fixieren lässt, denn sie soll ja alle Stufen der Unendlichkeit umfassen. Sie kann sich dabei vielleicht nicht selbst umfassen, sondern entwickelt sich dynamisch in einem Sinne, den ich nicht verstehe. Da Arianne die Existenz umfasst, wäre das eine Begründung für Entwicklung an sich.

Man denke an den Barbier, der alle Leute im Dorf rasiert, die sich selbst nicht rasieren.

Frage: Rasiert er sich selbst?

Wenn er sich selbst rasiert, kann er nicht vom Barbier rasiert werden. Widerspruch!
Wenn er sich nicht selbst rasiert, wird er vom Barbier rasiert. Widerspruch!

Der Widerspruch tritt auf, wenn man den Barbier zu den Dorfbewohnern hinzuzählt.

Meßbarkeit von Mengen

Die Potenzmenge der reellen Zahlen ist Gegenstand  von Betrachtungen der Maß- und Integrationstheorie. Dabei werden Teilmengen der Potenzmenge der reellen Zahlen betrachtet. Diese Teilmengen dienen z.B. dazu, den Begriff einer meßbaren Menge zu definieren. Über den Meßbarkeitsbegriff kann man Integrale definieren und hierüber z.B. die Länge einer Kurve bestimmen.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie operiert zum Teil auf solchen Teilmengen der Potenzmenge der reellen Zahlen.

Würde man hierfür die gesamte Potenzmenge von R zugrundelegen, so müßte die Wahrscheinlichkeit P(R) = 1 sein. Wenn man nun einem Intervall I einen Zahlenwert P(I) größer als Null zuordnen würde, so würde sich die Wahrscheinlichkeit für zwei disjunkte Intervalle der gleichen Größe addieren.

Nach endlich vielen solcher Additionen würde der Wert 1 überschritten werden. Also müßte man dem Intervall den Wert P(I) = 0 zuordnen. Das ist nicht sinnvoll. Daher beschränkt man sich auf Teilmengen der Potenzmenge von R.

Eine Paradoxie

Im dreidimensionalen reellen Zahlenraum kann man über geeignete meßbare Mengen das Volumen von Körpern definieren.

Dass es dabei zu Problemen kann, zeigt das Banach-Tarski Paradoxon. Es besagt, dass man eine Kugel im dreidimensionalen reellen Zahlenraum in endlich viele Teile zerlegen kann, aus denen sich zwei verschiedene Kugeln von der Größe des Originals bilden lassen.

Soweit ich den Begleittext verstanden habe, hängt es damit zusammen, dass man im R3 Teilmengen bilden kann, die nicht messbar sind. Damit kann man ihnen kein bestimmtes Volumen zuordnen.

Einen Versuch, eine nicht messbare Teilmenge der reellen Zahlen zu verstehen, findet man auf der folgenden Seite.

Komplexe Zahlen

Eine Zahlbereichserweiterung der reellen Zahlen führt zu den komplexen Zahlen. Komplexe Zahlen lassen sich in einer zweidimensionalen Zahlenebene darstellen. Die Mächtigkeit dieser Zahlenmenge ist gleich der Mächtigkeit der reellen Zahlen.

Das finde ich schon interessant, denn die reellen Zahlen sind ja dadurch charakterisiert, dass es für jede reelle Zahl, also insbesondere für die irrationalen Zahlen, eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen diese Zahl konvergiert. Im Grunde werden die reellen Zahlen dadurch definiert.

Für die komplexen Zahlen gilt das im Allgemeinen nicht mehr. Dennoch haben sie die gleiche Mächtigkeit wie die reellen Zahlen.

Unendlichkeit im Kleinen

Wie klein können die Dinge werden? Eine einzelne reelle Zahl bezeichnet einen Punkt auf der Zahlengeraden. Der Punkt hat keine räumliche Ausdehnung. Wie kann man ihn dann von einem benachbarten Punkt unterscheiden?

2 verschiedene Punkte haben auf der Zahlengeraden einen positiven Abstand. Sie können dann aber nicht benachbart sein, denn man kann unendlich viele weitere Punkte dazwischen schieben, sogar überabzählbar viele.

Offenbar ist der Übergang von endlich zu unendlich (groß oder klein) nicht fließend.

Stellt man die Zahlen durch Ziffernfolgen dar, z.B. 1,4566789300698 ... so können sich 2 "benachbarte" reelle Zahlen nicht nach endlich vielen Ziffern unterscheiden, denn dann wären sie nicht mehr "benachbart", sie hätten einen positiven Abstand, man könnte weitere reelle Zahlen dazwischenschieben.

Also unterscheiden sie sich "im Unendlichen" (?)

Noch merkwürdiger wird es durch den Vergleich der Zahlen 0,999999999999... und 1,0. Diese Zahlen unterscheiden sich in jeder endlichen Ziffernfolge, "im Unendlichen" sollen sie aber gleich sein.

Anders formuliert, die unendliche Ziffernfolge 0,99999999999.... beschreibt genau die Zahl 1,0

Dabei muss man aber die gesamte Ziffernfolge betrachten, in ihrer vollständigen Unendlichkeit.

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