Funktionentheorie Grundlagen 01

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Mathematik
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Die Funktionentheorie behandelt ausführlich die Theorie der  holomorphen Funktionen. Das sind Funktionen, die komplexe Zahlen in den Bereich der komplexen Zahlen abbilden und die komplex differenzierbar sind.

Holomorphe Funktionen ermöglichen die Darstellung von Zusammenhängen zwischen Funktionenklassen, die in der reellen Analysis nicht sichtbar werden, z.B. zwischen Exponentialfunktion und trigonometrischen Funktionen.

Die Klasse der holomorphen Funktionen wird um die der meromorphen Funktionen erweitert. Meromorphe Funktionen sind holomorph bis auf Polstellen. Über den Residuenkalkül meromorpher Funktionen ist es z.B. möglich, bestimmte Klassen uneigentlicher reeller Integrale zu berechnen.

Komplexe Zahlen ermöglichen eine zweidimensionale Darstellung von Strom-Spannungs-Diagrammen in der Ebene (Eulersche Gleichung). Sie sind elementarer Bestandteil komplexwertiger Wellenfunktionen der Quantenmechanik (Schrödingergleichung). Mit ihrer Hilfe können Schwingungszustände in Abhängigkeit von Raum und Zeit ausgedrückt werden. In älteren Darstellungen der Speziellen Relativitätstheorie wurden sie zur Darstellung der Zeitkomponente verwendet. Sie sind auch heute noch ein wesentlicher Bestandteil der relativistischen Quantenmechanik.

Bei der Behandlung der Diracgleichung zeigt sich, dass die Eigenschaften der komplexen Zahlen nicht ausreichen, um die Lösungen vollständig beschreiben zu können. Man behilft sich mit einem Matrizenkalkül, der formal äquivalent zu den sogenannten hyperkomplexen Zahlenist, eine Erweiterung des Zahlenkörpers der komplexen Zahlen.

Bei dieser Erweiterung gehen allerdings Eigenschaften eines Zahlenkörpers verloren.

Komplexe Zahlen

In der Funktionentheorie wird der Zahlenkörper der reellen Zahlen zum Zahlenkörper der komplexen Zahlen erweitert.

Man kann die komplexen Zahlen dadurch motivieren, dass man Lösungen der Gleichung x2 = a mit a < 0 definiert. Für reelle Zahlen haben diese Gleichungen keine Lösung.

Per Definition ist  Lösung der Gleichung x2 = -1. Man definiert i := , und bezeichnet i als
"imaginäre Einheit".
 
Das Symbol := besagt, dass der links hiervon stehende Ausdruck über den rechts hiervon stehenden Ausdruck definiert wird, so wird z.B. das Symbol i als  definiert. Aus dieser Definition schliesst man, dass i2 = -1 gilt, dabei wird vorausgesetzt, dass das Quadrat eines Wurzelausdruckes den Ausdruck unter dem Wurzelsymbol ergibt (den Radikanten). Man abstrahiert also von den bekannten Eigenschaften einer Wurzel auf einen neuen, bisher unbekannten Anwendungsbereich.

Die Bezeichnung "Einheit" kommt daher, dass man i den Betrag 1 zuordnen kann. Was man unter dem Betrag einer komplexen Zahl versteht, wird weiter unten gezeigt.

"Imaginär" kommt daher, dass die Eigenschaften dieser Zahlen den Bereich der bisher bekannten reellen Zahlen überschreiten. Sie sind in diesem Sinne nicht "reell" oder "real".

Später wird gezeigt, dass sich die komplexen Zahlen zweidimensional darstellen lassen, also keineswegs "imaginär" sind.



Kompliziertere Ausdrücke berechnet man unter Anwendung der "bekannten" Rechenregeln:



Der Ausdruck i stellt eine spezielle komplexe Zahl dar. Da die komplexen Zahlen eine Erweiterung des Zahlenkörpers der reellen Zahlen darstellen sollen, muss die Addition von komplexen Zahlen mit reellen Zahlen definiert sein, z.B. 1 + i, 2 + 3i, ...
 
Ausdrücke der Form x + iy
mit reellen Zahlen x, y
und der imaginären Einheit i 
werden
als komplexe Zahlen
definiert.

Durch die Definition  lassen sich die reellen Zahlen in die so definierten komplexen Zahlen einbetten:

x + iy reduziert sich zu x, wenn y den Wert 0 hat. Reelle Zahlen sind daher komplexe Zahlen der Form x + i0.

Ein Rechenbeispiel:
(1 + i)2 berechnet man zu (1 + i) * (1 + i) = 1 + i + i + i2 = 1 + 2i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i.

Für komplexen Zahlen gilt folgende wichtige Eigenschaft:

Polynome der Form

an * zn + an - 1 * zn -1 + ... + a1 z + a0 

können vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden (das ist i.A. im Bereich der reellen Zahlen nicht möglich).
Man bezeichnet diese Eigenschaft komplexer Zahlen auch als Fundamentalsatz der Algebra.

z ist in dieser Darstellung eine variable komplexe Zahl, n eine konstante natürliche Zahl, die ai sind konstante komplexe Zahlen.

Beispiel: Es ist z2 + 1 = (z +  i) * (z - i).

(z + i) und (z - i) sind Linearfaktoren von z2 + 1.

Durch Nachrechnen: (z + i) * (z - i) = z2 - i2 = z2 - (-1) = z2 + 1.

Aus der Wikipedia


Die zi sind Nullstellen des Polynoms.

Artikel: Fundamentalsatz der Algebra (Jan 2013)

Ein Polynom vom Grad n hat im Bereich der komplexen Zahlen genau n Nullstellen. Die Nullstellen müssen nicht notwendig voneinander verschieden sein.

Gegenbeispiel für reelle Zahlen

Das Polynom X2 + 1 läßt sich für reelle Zahlen X nicht in Linearfaktoren zerlegen, da es keine reellen Nullstellen hat.


Damit der Begriff Zahl eine sinnvolle Bedeutung erhält, müssen Rechenoperationen zwischen komplexen Zahlen definiert werden, es sind dies die Operationen Addition, Multiplikation und Division.


Addition

Aus Gründen der Übersichtlichkeit habe ich das Multiplikationssymbol zwischen i und y mitgeschrieben, es wird aber in der Literatur meistens weggelassen.

Es werden die bekannten Rechenregeln unter Einbeziehung der neuen Größe i = angewendet.

(3 + i4) + (2 + i7) = 5 + i11   bzw.  (3 + 4i) + (2 + 7i) = 5 + 11i

Die Klammern können auch weggelassen werden.

Multiplikation



Eine größere Darstellung des Bildes

Dabei wurde benutzt, dass  gilt.

Beispiel:  (2 + i3) * (4 + i5) = 2 * 4 - 3 * 5 + i * (2 * 5 + 3 * 4) = -7 + i22 = -7 + 22i

Division


Mit der Division ist es etwas schwieriger, man behilft sich mit einem Trick.
Der Quotient wird so erweitert, dass der Nenner reell wird.
Dabei wird der binomische Lehrsatz angewendet:
(x + iy)(x - iy)=x2 - (iy)2 = x2 - i2y2 = x2 + y2

Es werden die Regeln verwendet, die man vom Rechnen mit reellen Zahlen kennt.
(der Malpunkt zwischen x1x2 , iy1 ... wurde weggelassen)


Die komplexen Zahlen bilden mit diesen erweiterten Rechenoperationen einen Zahlenkörper. Man kann zeigen, dass es nicht möglich ist, die komplexen Zahlen in einer Weise anzuordnen, wie es bei den reellen Zahlen möglich ist.
 
Im Bereich der reellen Zahlen gilt folgendes: ist a eine reelle Zahl, so ist a2 > 0. Ist a < 0, so ist -a > 0.
Für die komplexe Zahl i gilt: i2 = -1 < 0. 
Wäre i > 0, so sollte auch i2 > 0 sein, es ist aber i2 = -1 < 0, wäre i < 0, so sollte -i > 0 sein, es ist aber (-i)2 = -1 < 0.

Die komplexen Zahlen ermöglichen ein Rechnen in der Ebene, damit lassen sich Strom-Spannungsverhältnisse sehr anschaulich darstellen.


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