Determinante

Home Mobil   Home PC
nächste Seite

Berechnung einer Determinante

Die Determinante einer Matrix A (det A) berechnet sich in der folgenden Weise:
     

Permutationen

Bemerkung:symbolisiert eine Permutation, Sn ist die Menge der Permutationen einer n-elementigen Menge.
Unter einer Permutation  versteht man eine bijektive Abbildung einer nicht leeren Menge M auf sich.

In der Definition einer Menge ist es egal, wie man die Elemente auflistet, d.h. die Menge {1,2,3} ist gleich der Menge {3,2,1}.
Im folgenden werden Abbildungen einer Menge auf sich selbst betrachtet. Da man das Ergebnis der Abbildung von ihrem Ursprung unterscheiden will, werden im folgenden geordnete Mengen betrachtet, d.h. die Reihenfolge der Anordnung der Elemente wird berücksichtigt, dann unterscheidet sich z.B. {1,2,3} von {3,2,1}.

Beispiel: {1,3,2,4,6,5} ist das Ergebnis einer Permutation der geordneten Menge {1,2,3,4,5,6}.

Dabei wurde folgende Abbildung vorgenommen: 1 -> 1, 2 -> 3, 3 -> 2, 4 -> 4, 5 -> 6, 6 -> 5
Man schreibt die entsprechende Permutation  in der Form

und es gilt dann (1) = 1, (2) = 3, (3) = 2, (4) = 4, (5) = 6, (6) = 5

Spezielle Permutationen sind Transpositionen. Sie vertauschen genau 2 Elemente einer geordneten Menge.

Beispiel: {1,2,3,4,6,5} ist eine Transposition der geordneten Menge {1,2,3,4,5,6}

Man unterscheidet zwischen geraden und ungeraden Permutationen.

Eine ungerade Permutation ergibt sich als Produkt einer ungeraden Zahl von Transpositionen,
eine gerade Permutation als Produkt einer geraden Zahl von Transpositionen.

Unter dem Produkt von Transpositionen versteht man das Hintereinanderausführen der entsprechenden bijektiven Abbildungen.

Beispiel: vertauscht man in der geordneten Menge {1,2,3,4,5,6} zunächst 5 mit 6 (Transposition 1) so ergibt sich {1,2,3,4,6,5}, vertauscht man anschließend 2 und 3 (Transposition 2) so ergibt sich als Ergebnis {1,3,2,4,6,5}. {1,3,2,4,6,5} ist das Ergbnis der Hintereinanderausführung der Transpositionen 1 und 2.

Eine Permutation  hat ein Vorzeichen, das mit signbezeichent wird.
Eine gerade Permutation bekommt das Vorzeichen +1, eine ungerade Permutation das Vorzeichen -1.

Für eine genauere Beschreibung von Permutationen und der verwendeten Terminologie verweise ich auf das Buch von Rolf Lingenberg.


Beispiel für die Berechnung einer Determinante

Die Anzahl der Permutationen der Menge {1,2,3} ist 6, daher kommen die 6 Summanden zustande.
Permutiert wird nach dem zweiten Index von aik.
{1,2,3} erhält das Vorzeichen + 1
{2,3,1} ergibt sich als Produkt von "vertausche 3 und 1 (=> {3,2,1}) und anschließend 2 und 3 (=> {2,3,1})
damit ist {2,3,1} das Produkt einer geraden Zahl von Transpositionen und erhält das Vorzeichen +1

Entsprechend kann man das Vorzeichen für die anderen Summanden verifizieren.
(zur Berechnung von Determinanten vgl. z.B. DUDEN Schülerduden Mathematik II, ein Lexikon zur Schulmathematik für das 11. bis 13. Schuljahr, Dudenverlag Mannheim 2000)


Determinante einer 2 x 2 Matrix

Für eine 2 x 2 Matrix A ergibt sich bei der Berechnung der Determinante:



nächste Seite