Jordansche Normalform

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Beschreibung einer Jordanschen Normalform

Zitat aus dem Buch von H.J. Kowalski (siehe Literaturhinweise unten auf dieser Seite):

Jede quadratische Matrix A aus einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist zu einer Normalmatrix ähnlich, die bis auf die Reihenfolge ihrer Untermatrizen durch A eindeutig bestimmt ist.

Als algebraisch abgeschlossener Körper wird in der Regel die Menge der komplexen Zahlen verwendet.

Die weiter unten angegebene Darstellung der Jordanschen Normalform findet man auch in der Wikipedia.


Nach Wikipedia ist die Jordansche Normalform einer quadratischen Matrix A
eine Matrix J von folgender Gestalt:


Voraussetzung für die Existenz einer Jordanschen Normalform zu einer quadratischen Matrix A ist, dass das charakteristische Polynom der Matrix A in lauter Linearfaktoren zerfällt.

Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Elemente der Matrix A aus dem Bereich der komplexen Zahlen C gewählt werden.

Unter dem charakteristischen Polynom versteht man die Abbildung x -> det(A -xE), x aus dem Zahlenbereich, aus dem die Elemente der Matrix A gewählt werden. E ist die Einheitsmatrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen bzw. Spalten wie die Matrix A.

Für eine n x n - Matrix A ist det(A - xE) ein Polynom vom Grad n in der Variablen x.

Im Bereich der komplexen Zahlen zerfällt das Polynom in lauter Linearfaktoren (Fundamentalsatz der Algebra, siehe Index zur Funktionentheorie). Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte von A (sie können mit unterschiedlicher Vielfachheit vorkommen ).

Diagonalgestalt einer Matrix

Die Jordanblöcke können sich dabei auch zu Jordankästchen reduzieren, in denen nur eine einzige Zahl steht. In diesem Fall spricht man von der Diagonalisierbarkeit einer Matrix. Für eine Diagonalmatrix berechnet sich die Determinante als Produkt der Diagonalelemente.

Beispiel

Die Jordansche Normalform J zur Matrix A hat folgende Gestalt:

vgl. Übungen zur linearen Algebra, MPIB Aufgabe 53

MPIB Aufgabe 53
Das charakteristische Polynom sieht für die Matrix A folgendermaßen aus:

  det (A -xE) = (1 - x)3(2 - x)

es zerfällt also bereits im Bereich der reellen Zahlen in lauter Linearfaktoren

(vgl. Übungen zur linearen Algebra, MPIB Aufgabe 48)

MPIB Aufgabe 48

Als Eigenwerte der Matrix A ergeben sich hieraus x1=1 mit der Vielfachheit 3 und x2=2 mit der Vielfachheit 1

In die angegebene 4x4 Matrix passt damit nur ein Jordanblock zum Eigenwert x1=1 hinein,
da ja x2=2 auch noch repräsentiert werden muss.

Anschaulich betrachtet müssen sich dann die beiden anderen Jordanblöcke zu Jordankästchen reduzieren,
in denen nur eine einzige Zahl steht.


Im folgenden wird eine Basis des R4 angegebenen, hinsichtlich der A die Form J annimmt:

        


Hinsichtlich der Basis {u1,u2,u3,u4} gilt: Au1 = u1, Au2 = u2 + u1, Au3 = u3, Au4 = 2u4
Daher hat A hinsichtlich dieser Basis die angegebene Gestalt J.

Im folgenden wird gezeigt, wie sich die Jordansche Normalform J aus der Matrix A mittels Matrizenmultiplationen der Form J = Q-1 A Q berechnen läßt:

Eine größere Darstellung des Bildes

Die "hintere Matrix" Q enthält die Basis {u1,u2,u3,u4} als Spaltenvektoren, hinsichtlich der die Matrix A die Gestalt J hat.


Berechnungen mit Maple

Literaturhinweise

Kowalski

Wikipedia: Artikel Jordansche Normalform