Lineare Algebra

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letzte Änderungen 11.06.2015


Stichworte

Gruppe, Gruppenaxiome, Körperaxiome,  

Mengentheoretische Symbole, kommutativ

Definitionen und Sätze

eine Auswahl

Elementare Übungen zur Linearen Algebra

MPIB I, Mathematik für Physiker, LMU München, WS 1996/97

Die lineare Algebra beinhaltet Strukturen, die Begriffe aus der Algebra voraussetzen: Gruppen und Körper.
Zu ihrer Beschreibung werden mengentheoretische Symbole verwendet, die im folgenden erläutert werden.

Grundlegende Symbole und Begriffe

Mengentheoretische Symbole, Gruppenaxiome

Eine größere Darstellung des Bildes

Anmerkungen zum Gruppenbegriff

Eine Gruppe ist eine Menge von Elementen, zwischen denen eine Verknüpfung    definiert ist, so dass die Gruppenelemente bzgl.  den Gruppenaxiomen genügen. In der linearen Algebra bilden Vektoren hinsichtlich ihrer Addition eine Gruppe.

Anstelle von   werden auch die Symbole  *  und ·  verwendet. Für "additive Gruppen" verwendet man das Symbol " + ", d.h. die Bedeutung der Verknüpfung kann unterschiedlich sein (z.B. Addition von Zahlen, Vektoren, Multiplikation von rationalen, reellen, komplexen Zahlen, Multiplikation invertierbarer Matrizen). Oft wird das Verknüpfungssymbol auch weggelassen. Beispiele für Matrizen sind weiter unten angegeben.

Multiplikation von Matrizen

Anmerkung: Die Multiplikation von Matrizen ist an bestimmte Bedingungen geknüpft und im Allgemeinen bilden die Matrizen bzgl. der Multiplikation keine Gruppe. Quadratische Matrizen gleicher Zeilen- und Spaltenzahl können eine Gruppe bilden, wenn sie invertierbar sind (d.h. ihre Determinante ist von Null verschieden). Vgl. hierfür den oben angegebenen Link "Definitionen und Sätze".

Im Allgemeinen ist die Multiplikation quadratischer Matrizen nicht kommutativ.
Es gilt das Assoziativgesetz.

Ein Beispiel für eine Gruppe ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition + als Verknüpfung.

Zahlen werden auf dieser Seite behandelt.


Beispiele für Gruppen

Beispiel 1

Die ganzen Zahlen sind abgeschlossen bzgl. der Addition  + (G0)
d.h. die Summe zweier ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl
Beispiele: 2 + 3 = 5, -7 + 4 = -3, 3 + 0 = 0

Für die Addition ganzer Zahlen gilt das Assoziativgesetz (G1)
Beispiel: (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Das neutrale Element bzgl. + ist die Null (G2)
Beispiel: 0 + 3 = 3 + 0 = 3

Das inverse Element zu einer ganzen Zahl ist die entsprechende negative ganze Zahl (G3)
Beispiel: -3 ist invers zu 3,  3 + (-3) = 0


Beispiel 2

Die rationalen Zahlen ohne die Null sind abgeschlossen bzgl. der Multiplikation  ·

Für die Multiplikation rationaler Zahlen gilt das Assoziativgesetz (vgl. die Seite über Zahlen, Link s.o.)

Das neutrale Element bzgl. · ist die 1: 1 · x = x

Beispiel: das inverse Element zu 2/3 ist 3/2:  2/3 · 3/2 = 1


Lineare Algebra

In der linearen Algebra werden "lineare Gleichungen" betrachtet, es werden Beziehungen zwischen Vektoren und Matrizen behandelt und lineare Abbildungen diskutiert. Eine allgemeine Einführung in diese Begriffswelten findet man über den oben angegebenen Link "Definitionen und Sätze".

Beispiele linearer Gleichungen:  x + 3 = 7,     3 * x + b = c  (* ist das Multiplikationssymbol)

Beispiel einer quadratischen Gleichung: x2 + 3 = 17  (diese Gleichung ist nicht linear)

Beispiele von Matrix-Vektor-Beziehungen:

Eine größere Darstellung des Bildes

A ist eine Matrix,  sind Vektoren.

Durch die angegebenen Matrix - Vektor Beziehung wird eine Drehung vermittelt, der links von dem Gleichheitssymbol " = " stehende Vektor wird durch Anwendung der Matrix A auf den rechts davon stehenden Vektor abgebildet. In diesem Sinne vermittelt die Matrix A eine lineare Abbildung des Vektor x auf den Vektor Ax.
(der Vektor x wurde hier unterstrichen gezeichnet, da mir momentan keine Darstellung mit einem oberen Pfeil zur Verfügung steht)

Das Symbol  ·  zwischen Matrix und Vektor vermittelt die Operation "Multiplikation Matrix mit Vektor".

Ein Vektor ist ein zentraler Begriff der linearen Algebra. Während die Addition zwischen Vektoren Gruppeneigenschaft besitzt, benötigt man eine zusätzliche Operation   ·  um Vektoren mit sogenannten Skalaren multiplizieren zu können.

Ein Skalar könnte eine reelle Zahl sein, man kann z.B. die Länge bestimmter Vektoren verdoppeln, indem man den Vektor mit 2 multipliziert.
 
Dementsprechend hat das Symbol  ·  unterschiedliche Bedeutung, je nachdem ob man Zahlen miteinander multipliziert, Matrizen mit Vektoren multipliziert oder Zahlen mit Vektoren multipliziert. In vielen Darstellungen verzichtet man auch ganz auf die Darstellung des Malpunktes, z.B. findet man in der Literatur ab anstatt a·b, Ax anstatt A·x, ax anstatt a·x . Auch die Darstellung von Vektoren ist unterschiedlich. Manchmal sind die Vektoren mit einem oberen Pfeil versehen, manchmal werden sie unterstrichen oder fett gezeichnet, manchmal sieht man überhaupt keinen Unterschied zwischen der Darstellung eines Vektors und der Darstellung einer Zahl. Man muss dann die Bedeutung aus dem Zusammenhang erschließen.

Vektoren und Vektorräume

Ein Vektor wird in der linearen Algebra als Element eines Vektorraumes eingeführt.


Zum Vektorraum vgl. auch den Index zur linearen Algebra.

Der Vektorraum ist über einem Körper K definiert. Die Elemente aus K können mit den Vektoren multipliziert werden. Die Elemente aus K heißen auch Skalare.

Als Beispiel wurde bereits die Multiplikation von Zahlen mit Vektoren angesprochen. Man wählt in solchen Fällen den Körper K der reellen oder komplexen Zahlen als Zahlenkörper. In  der folgenden Tabelle werden die Körperaxiome angegeben.

Dabei wird vorausgesetzt, dass in einer gegebenen Menge K zwei verschiedene Verknüpfungen (Operationen) +  und  · definiert sind:


Körperaxiome

Körperaxiome
(K1)     (K,+) ist eine kommutative Gruppe mit dem neutralen Element 0
(K2)     (K\{0},·) ist eine kommutative Gruppe mit dem neutralen Element 1
(K3)     x·(y+z) = x·y + x·z  es gilt das Distributivgesetz

x,y,z,0,1 sind Elemente aus K


Erläuterung von Begriffen und Symbolen

Kommutativ

Kommutativ heißt, dass die Operanden miteinander vertauscht werden können, d.h. es ist a + b = b + a
bzw. x·y = y·x
Die Bezeichnungen 0 und 1 für die neutralen Elemente bzgl. + und · sind willkürlich.
Das inverse Element von x bzgl. + bezeichnet man oft als -x,
das inverse Element von y bzgl. · oft als y-1.
Mit diesen Vereinbarungen gilt dann x + (-x) = 0, y·y-1 = 1, x + 0 = x, y·1 = y