Versicherungsmathematik 01

letzte Änderungen: 29.11.2015

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Die Ausführungen orientieren sich an einer Vorlesung über Versicherungsmathematik an der LMU München von
K. Wolfsdorf und an seinem Buch Versicherungsmathematik, Teil 1 Personenversicherung, Teubner Studienbücher, Mathematik, 1997. Es wird nur ein sehr kleiner Ausschnitt behandelt. Einen Überblick über die Versicherungsmathematik findet man in der Wikipedia, Artikel: Versicherungsmathematik.

Mein Motivation für diesen Abschnitt: ich wollte wissen, wieviel Kapital muss ich aufwenden, um eine Rente bestimmter Größenordnung zu erzielen. Die Berechnung sollte dabei mit versicherungsmathematischen Hilfsmitteln erfolgen.

Zum Vergleich wird das staatliche Rentenmodell kurz beschrieben. Hier wird das eingezahlte Kapital nicht verzinst, andererseits haben die verwendeten Endgeltpunkte einen ähnlichen Effekt.


Einige grundlegende mathematische Hilfsmittel
Die Begriffe werden durch die nachfolgenden Beispiele erläutert.


B sei der Barwert oder Anfangswert eines Kapitals

p sei der Zinsfuß
(Angabe in %)

i sei der Zinssatz

r sei der Aufzinsungsfaktor

S sei das Endkapital

 

v sei der Abzinsungsfaktor (oder Diskontierungsfaktor)

d sei die jährliche Diskontrate

d = 1 - v


Das Kapital B werde mit p % jährlich verzinst. Nach einem Jahr ergibt sich aus dem Kapital B ein neues Kapital

S1 = B + B * i = B * (1 + i) = B * r


Beispiel 1:

Ein  Kapital von B = 10000 Euro werde mit p = 4 % jährlich verzinst. Hieraus ergibt sich ein jährlicher Zinssatz von i = 0,04. 
Nach einem Jahr erhöht sich das Kapital B auf
S1 = B + B * i = 10000 + 10000 * 0,04 = 10000 * ( 1 + 0,04) = 10000 * 1,04 = 10400 (Angaben in Euro)
S1 = B * (1 + i) = B * r


In der Regel werden auf das neue Kapital S1 wieder p % Zinsen gezahlt.


Beispiel 2:

Das Kapital S1 von Beispiel 1 werde mit p = 4 % jährlich verzinst. Nach 1 Jahr erhöht sich S1 dann auf 
S2 = S1 * (1 + i) = S1 * r = B * r2
d.h. das Ausgangskapital B hat sich nach 2 Jahren auf S2 = 10000 * (1,04)2 = 10816 Euro erhöht.


Nach n Jahren erhöht sich das Kapital B bei fortwährender jährlicher Verzinsung zu p % auf

Sn = B * (1 + i)n = B * rn


Beispiel 3

Nach 10 Jahren erhöht sich das Kapital B = 10000 Euro bei einer jährlichen Verzinsung mit p = 4 % auf
S10 = 10000 * (1,04)10 = 14802 Euro (an der letzten Stelle auf 1 Euro abgerundet)

Nach 20 Jahren erhöht sich das Kapital B = 10000 Euro bei jährlicher Verzinsung mit p = 4 % auf
S20 = 10000 * (1,04)20 = 21911 Euro (an der letzten Stelle auf 1 Euro abgerundet)

Nach 30 Jahren erhöht sich das Kapital B = 10000 Euro bei jährlicher Verzinsung mit p = 4 % auf
S30 = 10000 * (1,04)30 = 32434 Euro (an der letzten Stelle auf 1 Euro aufgerundet)


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