Elektrodynamik - Einführung

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Formelsammlung

Beschreibung der Elektrodynamik

Die Elektrodynamik beschäftigt sich mit elektrisch geladenen Teilchen, Ladungsverteilungen, Strömen, elektrischen und magnetischen Feldern, Kräften und Potentialen, die auf elektrischen und magnetischen Erscheinungen beruhen.

Statische Aspekte elektrischer Ladungen werden in der Elektrostatik beschrieben.

Die Elektrodynamik vereinigt statische und dynamische Aspekte elektrischer Ladungen und sie beinhaltet die Beschreibung des Magnetismus.

Elektro-Magnetische Erscheinungen werden sowohl im Vakuum als auch in Materie beschrieben.

Man unterscheidet zwischen klassischer Elektrodynamik und relativistischer Elektrodynamik. Unter klassischer Elektrodynamik versteht man Elektrodynamik ohne Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie.


Maxwellgleichungen

Grundlage der klassischen Elektrodynamik sind die Maxwellgleichungen.

Die Maxwellgleichungen vereinigen Elektrostatik und Magnetismus. Die hier angegebenen Gleichungen beschreiben die elektrische Feldstärke E in Abhängigkeit einer gegebenen Ladungsverteilung , und in Abhängigkeit der zeitlichen Änderung eines magnetischen Feldes. Die elektrische Feldstärke E kann als Gradient eines Potentials beschrieben werden. Die elektrostatische Kraft F beschreibt die Kraft auf eine Probeladung q in einem beliebigen Feldpunkt E . Es gilt die Beziehung F = qE.

Lorentzkraft

Die Kraft auf eine bewegte Ladung in einem elektromagnetischen Feld wird durch eine Erweiterung der Maxwellgleichungen um die Lorentzkraft FL beschrieben.

Relativistische Elektrodynamik

Die relativistische Elektrodynamik erweitert die klassische Elektrodynamik um Aussagen der speziellen Relativitätstheorie. Sie ermöglicht die Erklärung des Magnetismus als Kraft zwischen Ladungsverteilungen auf Grund relativistischer Effekte (Längenkontraktion).


Einheitensysteme

Darstellungsweisen in der Elektrodynamik

Für die Übungen und theoretischen Überlegungen dieser Webseite wird überwiegend das SI-Einheiten-System zugrundegelegt.

In der theoretischen Physik wird aber auch oft das Gaußsche Maßsystem verwendet.


Das Coulombsche Gesetz

Gegeben seien zwei punktförmig gedachte Ladungen Q1 und Q2.
Der Abstand zwischen den Ladungen sei R.
Der Ortsvektor der Ladungen sei r1 bzw. r2.

S ist der Ursprung des Koordinatensystems, von dem aus die Ortsvektoren für die Ladungen gezeichnet werden.
R zeigt von Q1 auf Q2, es ist R = r2 - r1.

      er ist ein Vektor vom Betrag 1,  der von Q1 auf Q2  zeigt.

Die Kraft zwischen den Ladungen wird folgendermaßen bestimmt:

Das Coulombsche Gesetz

Dies ist die Kraft, die Q1 auf Q2 ausübt. Die Richtung des Kraftvektors zeigt von Q1 auf Q2.
(K21 hat die gleiche Richtung wie der Vektor r2 - r1)


Das Superpositionsprinzip

Für mehr als eine Ladung gilt das Superpositionsprinzip für die Überlagerung von Kräften:

Sei Q eine Ladung am Ort r , dann ergibt sich für die Kraft, die von n Ladungen Qi an den Orten ri auf Q ausgeübt wird:

Für eine kontinuierliche Darstellung, in der die Ladungsverteilung durch eine Verteilungsfunktion (r) beschrieben wird, ("unendlich viele Ladungen"), geht man zu einer Integraldarstellung über:

Hier können die Ladungen in einem Volumen V kontinuierlich verteilt sein. Berechnet wird die Kraft, die von den Ladungen im Volumen V' auf die Ladung q ausgeübt wird.

Aus der kontinuierlichen Darstellung folgt die Summendarstellung, wenn punktförmige Ladungen mit Hilfe der sogenannten Delta-Funktion charakterisiert werden.

Eine Punktladung Q am Ort r0 läßt sich mit Hilfe der Delta-Funktion folgendermaßen darstellen:

(r)=Q (r - r0)

Die Delta-Funktion  ist so definiert, dass sie an einem Raumpunkt den "Wert" annimmt (falls r = r0), an allen anderen Raumpunkten den Wert 0. Das Volumen-Integral über den gesamten Raum mit als Integranden ergibt den Wert 1.

Die Größe 0 verbindet Kräfte mit Ladungen (Definition s.o.).
Sie wird im SI-Einheiten-System verwendet. Eine etwas umfassendere Einführung in die Delta-Funktion findet man auf folgender Seite.

Für die nachfolgenden Überlegungen wird folgende Eigenschaft der Deltafunktion verwendet:

f ist eine reellwertige Funktion. Weitere Einschränkungen an f sind mir momentan nicht bekannt.
Die Darstellung gilt sowohl für reelle Zahlen x als auch für Punkte des dreidimensionalen Raumes R3.


Mathematische Beschreibungen findet man in der Theorie der Distributionen.

Setzt man in der kontinuierlichen Integraldarstellung

q = Q2 mit Ortsvektor r = r2 und (r')=Q1 *(r1 - r'), so beschreibt die Ladungsverteilung (r') eine am Ort r1 konzentrierte Ladungsverteilung.

Der Integrand ist nur für r' = r1 von 0 verschieden, die Integration ergibt

K21 ist ein Vektor, der von Q1 auf Q2 zeigt, beschreibt also die Kraft, die Q1 auf Q2 ausübt, K12 = -K21 gibt dagegen die Kraft an, die von Q2 auf Q1 ausgeübt wird.


Zur Delta-Funktion

Meiner Meinung nach ist die Deltafunktion ein formales Hilfsmittel, um Rechnungen vereinfachen zu können. Eine physikalische Bedeutung sehe ich darin nicht.

Eine Ladung benötigt Masse, mit der sie gekoppelt ist. Die kleinste messbare elektrische Ladung ist mit dem Elektron gekoppelt. Damit erfordert eine punktförmige Lokalisierung einer Ladung die punktförmige Lokalisierung einer Masse.

Eine Masse hat einen Impuls, der sich als Produkt aus Masse und Geschwindigkeit ergibt (relativ zu einem Beobachter). Nach der Unschärferelation der Quantenmechanik kann das Produkt aus Orts - und Impulsunschärfe nicht beliebig klein werden.

Eine exakt lokalisierte Masse hat aber die Ortsunschärfe Null, somit müßte der Impuls unendlich gross sein.

Man sieht hier eine formale Ähnlichkeit mit den Unendlichkeiten der Delta-Funktion.

Solche Unendlichkeiten kommen in der Natur nicht vor. In der Regel verhindert der immer größer werdende Impuls eine exakte Ortsbestimmung. "Kleine" Massen sind nicht exakt lokalisierbar.

Es ist zu beachten, dass sich diese Ortsbestimmung auf Elementarteilchen bezieht. Makroskopische Körper haben im Vergleich dazu bereits eine riesige Masse und benötigen nur eine sehr kleine Geschwindigkeit, um die Unschärferelation zu erfüllen.


Integral­darstellung zwischen Ladungs­dichte und Feld­stärke

Man kann das oben angegebene Gesetz auch so schreiben:

Dabei wird folgende Abhängigkeit zwischen Ladung und Feldstärke verwendet: (r) / 0= div E(r)

In Worten: die Ladungsdichte (r) am Ort r , dividiert durch "epsilon 0",
ist gleich der Divergenz der Feldstärke E am Ort r (vgl. den oben angegebenen Link zu den Maxwellgleichungen)

Die vorangestellte Gleichung ist die Integraldarstellung für diese Beziehung zwischen Ladungsdichte und Feldstärke.
 
wird auch als differentielle Beziehung zwischen Ladungsdichte und Feldstärke bezeichnet.
mit E = (E1,E2,E3),
r = (x,y,z)

Die Bedeutung der Divergenz wird z.B. von Horst Rollnik in seinem Buch erläutert. Das am weitesten rechts stehende Integral ist ein Flächenintegral über eine Fläche F, die ein Volumen V vollständig umschließt (das die Ladung Q enthält).

Das Integral beschreibt den Fluß des Elektrischen Feldes E durch das Volumen V. Ergibt sich ein von Null verschiedener Wert, so kann man schließen, dass sich innerhalb des Volumens V, das von der Fläche F berandet wird, eine Quelle des elektrischen Feldes E befindet, in diesem Fall die Ladung Q.


Die Größe 0 findet man bereits im Coulombgesetz (s.o.).
Die nachfolgende Übung behandelt einige elementare Probleme zu Ladungsverteilungen.