Quantenmechanik 01 für Mobilgeräte

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Seiten zur Quantenmechanik

01: Photonen, Plancksche Konstante
02: Wellenfunktionen, komplexe Darstellung
03: Wellenfunktionen für Materieteilchen
04: Operatoren, Unschärferelation, Fouriertransformation, Schrödinger-Gleichung
04a: Wellenpakete, Erwartungswerte
05: Klein-Gordon-Gleichung
06: Dirac-Gleichung, Pauli-Matrizen, Kommutatoren
06a: Isomorphie zwischen den Pauli-Matrizen und den Quaternionen
Quantentheorie

Gegenstand der  Quantenmechanik ist die Beschreibung von Elementarteilchen. Man unterscheidet zwischen Teilchen, deren Ruhemasse Null ist, und solchen Teilchen, die eine Ruhemasse besitzen.

Teilchen mit der Ruhemasse Null sind z.B. die  Photonen. Photonen sind "Lichtteilchen".

Betrachtet man die Beugung von Licht an einem Spalt oder die Brechung von Licht an einem Prisma, so lassen sich diese Erscheinungen am besten dadurch erklären, dass man dem Licht Welleneigenschaften zuordnet. Licht ist nach dieser Vorstellung  aus Lichtwellen unterschiedlicher Wellenlängen zusammengesetzt. Während sich alle Lichtwellen im Vakuum mit der gleichen konstanten Geschwindigkeit c, der  Lichtgeschwindigkeit, fortbewegen, ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Lichtwellen in verschiedenen Medien unterschiedlich. Dadurch erklärt man sich z.B. die Aufspaltung von weißem Licht in verschiedene Wellenlängen bei Durchgang durch ein Prisma. Jeder Lichtwellenlänge ist im sichtbaren Bereich eine bestimmte  Spektralfarbe zugeordnet, weißes Licht ist das Resultat der Überlagerung aller möglichen Spektralfarben.

Mit der unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit der Lichtwellen in verschiedenen Medien kann man die Brechung von Lichtwellen erklären.

Der sichtbare Bereich des Lichtes umfaßt nur einen eng begrenzten Bereich aller möglichen Wellenlängen, Röntengenstrahlen bestehen z.B. aus Photonen mit Wellenlängen, die kleiner als die Wellenlängen des sichtbaren Lichtes sind. Mikrowellen und Radiowellen haben demgegenüber eine größere Wellenlänge, als die des sichtbaren Lichtes.
 
Grünes Licht hat eine Wellenlänge von 500 nm (500 Nanometer = 500 * 10-9 m)

Ein Photon ist nach diesen Vorstellungen durch seine Ausbreitungsgeschwindigkeit c und seine Wellenlänge charakterisiert. Man kann ihm eine bestimmte Energie zuordnen, die umgekehrt proportional zur Wellenlänge ist, d.h. je größer die Wellenlänge eines Photons ist, desto weniger Energie hat es.

Ein weiterer Begriff, mit dem man Schwingungen charakterisiert, ist die Frequenz. Unter der Frequenz versteht man die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde. Die physikalische Einheit lautet Hertz: 1 Hz = 1/s .
(ein Hz entspricht einer Schwingung pro Sekunde)

Eine Schwingung ist ein periodischer Vorgang mit einer definierten Schwingungsdauer.

Kennt man die Schwingungsdauer T (in Sekunden), so berechnet sich die Frequenz f zu 1/T (in Hz).

Aus experimentellen Befunden weiß man, dass die Energie E einer monochromatischen Lichtwelle
(das ist eine Lichtwelle mit einer einheitlichen Frequenz) proportional zur Frequenz f ist, der Proportionalitätsfaktor wird mit h bezeichnet:

E = h * f

Aus historischen Gründen drückt man die Energie allerdings durch die im nächsten Absatz eingeführte Kreisfrequenz  aus, h unterscheidet sich von der dort verwendeten Konstanten  um einen konstanten Faktor 2 : h =  * 2

h wird als  Plancksche Konstante bezeichnet.

Es ist h = 6,626 * 10-34 Js

Anstelle von f als Bezeichner für die Frequenz wird auch oft  verwendet.
 
Man betrachtet Lichtwellen "oft" als harmonische Schwingungen, die sich im dreidimensionalen Raum ausbreiten. Licht setzt sich aus Photonen zusammen. Was man sich unter einem Photon vorstellen kann, wird an späterer Stelle genauer untersucht. 

Hier werden einem Photon Energie und Impuls zugeordnet, dabei sind diese Begriffe eigentlich aus einer unendlich ausgedehnten harmonischen Schwingung abgeleitet. Experimentelle Hinweise auf die Existenz der Photonen erhält man durch den lichtelektrischen Effekt (Photoeffekt).

Weiter unten wird eine Übungsaufgabe angegeben, die zeigt, wie man aus einer gegebenen Menge von Lichtenergie die Anzahl der Photonen berechnen kann, die diese Energie bewirkt haben.

Für harmonischen Schwingungen ist eine sogenannte  Kreisfrequenz  definiert,  , dabei ist T die Schwingungsdauer.

Mit  = 1 / T hat man T = 1 /  und somit  = 2 (bzw.  = 2 f)

Beispiele für harmonische Schwingungen sind durch die Kurvenverläufe von sin und cos gegeben.

Der Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz  und Energie E eines Photons sieht nun so aus:

Je größer die Kreisfrequenz der Schwingung ist, desto größer ist die Energie.

Einem Photon ist neben der Energie E ein Impuls p zugeordnet.

Der  Impuls ist umgekehrt proportional zur Wellenlänge, die Energie proportional zur Frequenz.

p = h * 1/
bzw.
   mit 

k ist der Betrag des Wellenzahlvektors, h ist die Plancksche Konstante, h =  h_quer* 2 pi, ist die Wellenlänge.

Für die  Energie eines Photons gilt E = p * c = h * c /.
 
Betrachten wir einmal die zugehörigen physikalischen Einheiten für h, E und p:

h = 6,626 * 10-34 [Js]
p = h * 1/ [Js/m]
E = h * f  [J]

J ist die SI - Einheit für die Energie: J = N * m 
m : Meter
N : Newton, N = kg * m / s2 ,  N ist die SI - Einheit der Kraft F
s : Sekunde

  • => J = kg * m2 / s2
  • J * s :  Wirkung
man bezeichnet das Produkt aus Energie und Zeit als Wirkung, h hat die Einheit einer Wirkung, die Konstante wird auch als  Plancksches Wirkungsquantum bezeichnet.

Die Energie ist damit eine Wirkung pro Zeiteinheit.
  • ist eine Länge, hat also die Einheit Meter,  [] = m,  f ist die Frequenz mit der Einheit 1/s, [f] = 1/s
  • p ist ist ein Impuls, ein Impuls ist definiert als zeitliche Änderung einer Kraft, 
also [p] = N/s = (kg * m / s2) / s = kg * m / s = "Masse * Geschwindigkeit

Es gilt die Beziehung p = h * 1/ , als Einheitengleichung geschrieben: [p] = [h] / [] bzw.
[p] = kg * m / s = [h] / [] = (J * s) / m,  J * s / m = ( kg * m2 / s) / m = kg * m / s 
(damit ist die Korrektheit der Einheitengleichung bewiesen)

Für E = h * f erhält man entsprechend [E] = [h] * [f] bzw. [E] = J =  [h] * [f] = (J * s) * (1/s) = J 
(womit die Gültigkeit der Einheitengleichung bewiesen ist)
 

Man kann den Impuls des Lichtes beobachten, er ist z.B. für einen Kometenschweif verantwortlich.

In praktischen Rechnungen zur Schulphysik bestimmt man z.B. die Anzahl der Photonen über die einfallende Energie, indem man diesen Wert durch die Größe  teilt.


Beispielrechung (nach Höfling, Physik Band II, Quanten und Atome)

Damit das menschliche Auge grünes Licht mit der Wellenlänge  = 500 nm (1 nm = 1 Nanometer = 10-9 m) wahrnimmt, ist es erforderlich, dass die auf die Netzhaut fallende  Lichtleistung mindestens P = 2 * 10-18 W beträgt

(W = Watt = J/s, J = Joule, s = Sekunde, 1 Watt ist also die einfallende Energie 1 Joule pro Sekunde)

Wieviel Photonen müssen dann in 1 s auf die Netzhaut treffen?
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Für die Energie eines Photons hat man 

Die Wellenlänge hängt bei einer Lichtwelle mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c folgendermaßen zusammen:

c = Wellenlänge/Schwingungszeit, während einer Schwingungsperiode hat sich die Lichtwelle um eine Wellenlänge weiterbewegt. Da der Quotient konstant ist, wird bei kürzerer Wellenlänge auch die Schwingungszeit (proportional) kürzer.

Die Frequenz    ist definiert als der Kehrwert der Schwingungszeit T.

Eine größere Darstellung des Bildes 


Somit müssen pro Sekunde 5 Photonen auf das menschliche Auge auftreffen, damit das grüne Licht gesehen wird.
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