Quantenmechanik 04

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Differenzieren der Wellenfunktionen, Herleitung der Operatorbeziehungen für Impuls und Energie.
Plausibilitätsbetrachtungen zur Schrödingergleichung.


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Wellenfunktionen, Operatoren, Unschärferelation

Die mathematische Beschreibung der Unschärferelation beruht auf der Darstellung der Elementarteilchen durch Wellenfunktionen (unter Verwendung der Fouriertransformation).

Die bisher verwendeten unendlich ausgedehnten Wellenfunktionen beschreiben nicht die reale Welt, hier hat man es mit räumlich begrenzten Teilchen zu tun. Allerdings kann man einem Teilchen, das durch eine unendlich ausgedehntem Welle beschrieben wird, einen exakten Impuls zuordnen, während sein Ort völlig unbestimmt ist.

Der Übergang zu endlichen "Wellenpaketen" zur Beschreibung von Elementarteilchen führt zu den Unschärferelationen der Quantenmechanik. Ein solches Wellenpaket wird z.B. durch die Überlagerung eines Kontinuums von Wellenfunktionen unterschiedlicher Frequenzen (bzw. der darus resultierenden Impulse) beschrieben, wobei das Spektrum der verwendeten Frequenzen beschränkt ist. Als Beschreibungsmittel hierfür wird die Fouriertransformation verwendet, die in der Quantenmechanik den Bezug zwischen der "Ortsdarstellung" einer Wellenfunktion und ihrer "Impulsdarstellung" herstellt.

Die Gestalt der verwendeten Wellenfunktionen ermöglicht wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretationen, die realen physikalischen Größen wie Ort und Impuls eines Teilchens werden dann über Erwartungswerte beschrieben.

Im folgenden seien und  Funktionen aus dem R3 in den R3 , die durch Fouriertransformation folgendermaßen miteinander zusammenhängen:

Eine größere Darstellung des Bildes

x und y bezeichnen Punkte aus dem R3 .
Integriert wird über den gesamten Raum. Die Funktion  ist so zu bestimmen, dass die Existenz der Integrale über das Betragsquadrat von vorausgesetzt werden kann

Existenz: die Integration über das Betragsquadrat von ergibt einen endlichen Wert.

Aus diesen Darstellungen kann man folgern:

Eine größere Darstellung des Bildes

Für   erhält man durch partielle Differentiation folgende Operatorbeziehungen
für Impuls und Energie:

Eine größere Darstellung des Bildes

Damit hat man Energie und Impuls durch Differentialoperatoren ausgedrückt (und statt y den Parameter k verwendet).


Es wurden folgende Beziehungen verwendet: und
In diesem Sinne spricht man in der Quantenmechanik vom Energieoperator und vom Impulsoperator. Die Bedeutung des Impulsoperators im Zusammenhang mit der Fouriertransformation ergibt sich aus den oben angegebenen Ableitungen.
 
Man kann sich nun die Schrödingergleichung plausibel machen:

Eine größere Darstellung des Bildes

Als Lösung dieser Gleichung erhält man z.B. die vorher beschriebene Wellenfunktion für das Elektron

Die Lösungsmannigfaltigkeit für diese Differentialgleichung ist allerdings wesentlich größer. Mathematisch gesehen hat man beim Übergang zu dieser Differentialgleichung (Dgl) eine Verallgemeinerung vollzogen, die den bisher betrachteten Spezialfall, die unendlich ausgedehnte Wellenfunktion, enthält.

Das Positron ist keine Lösung dieser Differentialgleichung. Sie erfaßt auch nicht den Spin des Elektrons.


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