Quantenmechanik 05

Home Mobil   Home PC

Herleitung der Klein-Gordon-Gleichung über die relativistische Energiegleichung.
Verwendung der Operatorgleichungen von Energie und Impuls.


nächste Seite

Klein-Gordon-Gleichung

Auf dieser Seite wird beschrieben, wie die nichtrelativistische Schrödingergleichung relativistisch verallgemeinert werden kann (nach P. Schmüser).

Dabei wird angenommen, dass Energie und Impuls weiterhin durch die Beziehungen

ausgedrückt werden (vgl. vorangehende Seite).

Für die Erwartungswerte dieser Operatoren wird aber die relativistische Beziehung zwischen Energie und Impuls zugrundegelegt:  (vgl. die entsprechende Ableitung in der relativistischen Mechanik).

m ist die Ruhemasse des betrachteten Teilchens.

Durch Einsetzen der Operatorbeziehungen erhält man die Klein - Gordon - Gleichung:


Für die Klein - Gordon - Gleichung kann man folgende ebene Wellen als Lösungen angeben:



Eine größere Darstellung des Bildes


Das gleiche Ergebnis erhält man bei Differentiation der anderen Gleichung
(Das Minus - Zeichen wird durch die zweifache Differentiation kompensiert)

E beinhaltet die kinetische Energie (p ist der Impuls), und die Ruhenergie des Teilchens.
E und kann positive und negative Werte annehmen.

Die rechte ebene Welle (s.o., negative Energie) wird als Antiteilchen interpretiert.
Beide Gleichungen beschreiben Spin - 0 Teilchen ohne äußeres Potential.

Um z.B. ein relativistisches Elektron beschreiben zu können (Spin 1/2 Teilchen), benötigt man die Dirac - Gleichung.

Bei Teilchen mit verschwindender Ruehmasse gilt E = c * p (z.B. für das Photon).
 
Frage: das Photon ist sein eigenes Antiteilchen, was bedeutet dann aber E = - c * p ?


nächste Seite